Comme je l’ai dis précédemment, en transformée de Laplace (et pas seulement), il est capital de savoir faire des décompositions en éléments simples des fractions rationnelles surtout en L2.
Alors révisons avec ces 6 petits exemples.

  • EXEMPLE 1:     I=\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x(x+1)}

On cherche à décomposer en éléments simples \frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}.

On applique la méthode du cache :

  • On multiplie par x l’équation du dessus puis on remplace x parx=0. Donc, A=1
  • On fait pareil pour x+1 puis on remplace x par x=1. Donc, B=-1

\Rightarrow\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}

I=[ln|x|-ln|x+1| ]_{1}^{p}=\lim_{p\rightarrow+\infty} ln(p)-\lim_{p\rightarrow+\infty} ln(p+1)+ln(2)=ln(2)

  • Exemple 2 :     J=\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2+5x+6}

On cherche la racine du polynôme x^2+5x+6.
\Delta =1\gt 0     Donc,      x_1=-3     et     x_2=-2.

On peut donc factoriser le polynôme x^2+5x+6=(x+3)(x+2)

On cherche à décomposer en éléments simples \frac{1}{(x+3)(x+2)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x+2}.

On applique la méthode du cache :

  • \times(x+3)\overset{x=-3}{\rightarrow}A=-1
  • \times(x+2)\overset{x=-2}{\rightarrow}B=1

J=\int_{1}^{p} (\frac{-1}{x+3}+\frac{1}{x+2})dx=[-ln|x+3|+ln|x+2| ]_{1}^{p}=[ln|\frac{x+2}{x+3} |]_{1}^{p}=ln(\frac{p+2}{p+3})-ln(\frac{3}{4})

Or, \lim_{p\rightarrow+\infty}(\frac{p+2}{p+3})=\lim_{p\to+\infty}( \frac{p}{p})=1     et     ln(1)=0

Donc, J=ln(\frac{4}{3})

  • EXEMPLE 3 :     K=\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2(x+1)}

On cherche à décomposer en éléments simples \frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{A}{x^2}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+1}.

On applique la méthode du cache :

  • \times(x^2)\overset{x=0}{\rightarrow}A=1
  • \times(x)\overset{x=1}{\rightarrow}A+B+\frac{C}{2}=\frac{1}{2}
  • \times(x+1)\overset{x=-1}{\rightarrow}C=1

On trouve B=-1 lorsqu’on injecte A et C dans l’équation A+B+\frac{C}{2}=\frac{1}{2}.

\Rightarrow\frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{1}{x^2}+\frac{-1}{x}+\frac{1}{x+1}

K=[\frac{-1}{x}-ln|x|+ln|x+1|] _{1}^{p}=\lim_{p\rightarrow+\infty}(\frac{-1}{p})-\lim_{p\rightarrow+\infty}(ln(p))+\lim_{p\rightarrow+\infty}(ln(p+1))+1-ln(1)-ln(2) 

=0-\lim_{p\rightarrow+\infty}(ln(p))+\lim_{p\rightarrow+\infty}(ln(p))+1-ln(2)=1-ln(2)

  • EXEMPLE 4 :     L=\int_{1}^{+\infty} \frac{dt}{t^2+1}

On oublie la méthode du cache, parce qu’on a repéré de loin que c’était la dérivée de la fonction arctan(t).
Non pas toi ? Beh maintenant tu n’as plus aucune excuse !! 🙂

L=[arctan(t)]_{1}^{p}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}

  • EXEMPLE 5 :     M=\int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{t^2+4}

Idem ici, sauf que je l’avoue, il faut le voir, là on devrait voir la dérivé de la fonction arctan(u)=\frac{u'}{1+u^2}.

Testons quelque chose par le pur des hasards :
[\frac{1}{2}arctan(\frac{t}{2})]'=\frac{1}{2}.\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{t^2}{2^2}}=\frac{\frac{1}{4}}{(1+\frac{t^2}{4})}=\frac{1}{t^2+4}

On en a de la chance 🙂

Donc, P=[\frac{1}{2}arctan(\frac{t}{2})] _{0}^{p}=\lim_{p\to+\infty} [\frac{1}{2}arctan(\frac{t}{2})]=\frac{\pi}{2}

  • EXEMPLE 6 :     N=\int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{t^2+2t+2}

Tu ne vois rien ? 🙂 Il fallait encore voir la dérivée de la fonction arctan(u).

Donc, N=[arctan(t+1)] _{0}^{p}=\lim_{p\to+\infty} (arctan(t))-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}