La fonction exponentielle


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Objectifs

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Les principaux objectifs de cet articles de cours sont :

  • Synthétiser les propriétés (aux limites) à retenir de la fonction exponentielle

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Formulaire exponentielle

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  • Fonction continue et dérivable sur ℝ
  •  dérivée (e^x)'=e^x pour tout réel x
  • La fonction exponentielle est strictement positive et croissante sur ℝ
  • e^0=1

Fonction exponentielle

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Propriétés de la fonction exponentielle

  • Quels que soient les réels a et b et l’entier n :
    • exp(2a)=(exp(a))^2
    • exp(a-b)=\frac{exp(a)}{exp(b)}
    • exp(a+b)=exp(a)\times exp(b)
    • exp(na)=(exp(a))^n
  • L’image de 1 par la fonction exponentielle est notée e, c’est à dire exp(1)=e
  • Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ
  • Sa dérivée (e^u)'=u'e^u pour tout réel x
  • La fonction e^u a le même sens de variation que u
  • Pour tous réels a et b, e^a=e^b équivaut à a=b
  • Pour tous réels a et be^a<e^b équivaut à a<b

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Propriétés de la fonction exponentielle aux limites

  • \lim_{x\to+\infty} e^x=+\infty et \lim_{x\to-\infty} e^x=0

 

  • \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty
  • \lim_{x\to-\infty} xe^x=0
  • \lim_{x\to0} \frac{e^x-1}{x}=1

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