La fonction logarithme népérien et décimal


.

Objectifs

.

Les principaux objectifs de cet articles de cours sont :

  • Synthétiser les propriétés (aux limites) à retenir de la fonction logarithme
  • Définir la fonction logarithme décimal

.

Formulaire logarithme népérien

.

  • Fonction continue et dérivable sur ]0;+\infty[
  • y=ln(x) et x>0 équivaut à e^y=x
  • Sa dérivée ln'(x)=\frac{1}{x} pour tout réel x \in  ]0;+\infty[
  • La fonction ln est strictement croissante sur ]0;+\infty[
  • Pour tout réel x strictement positif, e^{ln(x)}=x
  • ln(1)=0 et ln(e)=1
  • 0<x<1 équivaut à ln(x)<0 et x>1 équivaut à ln(x)>0

Fonction logaritme népérien

.

Propriétés de la fonction logarithme népérien

  • Quels que soient les réels a et b strictement positifs et l’entier n :
    • ln(a\times b)=ln(a)+ln(b)
    • ln(a^n)=nln(a)ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2}ln(a)
    • ln(\frac{a}{b})=ln(a)-ln(b)
  • La fonction ln(u) est définit sur I et dérivable sur cet intervalle et ln'(u)=\frac{u'}{u}
  • Pour tous réels a et b strictement positifs, a=b équivaut à ln(a)=ln(b)
  • Pour tous réels a et b strictement positifs, a<b équivaut à ln(a)<ln(b)

.

Propriétés de la fonction logarithme népérien aux limites

  • \lim_{x\rightarrow+\infty} ln(x)=+\infty et \lim_{x>0\rightarrow0} ln(x)=-\infty

 

  • \lim_{h\rightarrow0} \frac{ln(1+h)}{h}=1
  • \lim_{x\to+\infty} \frac{ln(x)}{x}=0

.

Formulaire logarithme décimal

.

  • Fonction notée log définit sur ]0;+\infty[ par log(x)=\frac{ln(x)}{ln(10)}

.

Propriétés de la fonction logarithme décimal

  • log(10)=1 et log(1)=0
  • La fonction log est strictement croissante sur ]0;+\infty[
  • Mêmes propriétés que la fonction logarithme népérien

Télécharger le PDF

.

Recevez GRATUITEMENT

20 fiches de révision

2 annales corrigées

un accès au groupe privé

une notification lors de chaque publication d’article de cours

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée.