Les fractions rationnelles


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Partie entière et partie polaire

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Fractions rationnelles

De même qu’une fraction (ou nombre rationnelr=\frac{p}{q} \in  \mathbb{Q}  est un quotient de deux entiers de \mathbb {Z}  (avec q \neq  0), une fraction rationnelle est un quotient R=\frac{P}{Q} de deux polynômes, (avec Q \neq  0). 

Une racine a (d’ordre \alpha) du dénominateur Q s’appelle pôle (d’ordre \alpha) de la fraction R=\frac{P}{Q}

Exemple : La fraction R=\frac{X+3}{X^3+X^2-X-1} = \frac{X+3}{(X+1)^2(X-1)}

possède deux pôles : le pôle double a=-1 et le pôle simple a=1. On peut lui associer la fonction rationnelle de \mathbb {R}  vers \mathbb {R}  donnée par x\mapsto R(x) = \frac{x+3}{(x+1)^2(x-1)} dont le domaine de définition est \mathbb {R}  -\left \{ -1,1 \right \}

Nous supposerons toujours dans la suite que les fractions rationnelles sont irréductibles, c’est à dire que le numérateur et le dénominateur n’ont aucune racine commune (si a est racine commune, alors on peut diviser haut et bas par (X-a)

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Partie entière et partie polaire

Considérons le nombre rationnel r=\frac{31}{9}. La division euclidienne du numérateur 31 par le dénominateur 9, (31 = 9 x 3 + 4) permet d’obtenir la partie entière de la fraction r (c’est à dire le plus grand entier inférieur ou égal à r) : r = \frac{31}{9}=\frac{9\times3+4}{9}=3+\frac{4}{9} écriture dans laquelle 3 est la partie entière et \frac{4}{9} la partie fractionnaire de la fraction \frac{31}{9}.

De manière analogue, soit R=\frac{P}{Q} une fraction rationnelle. Si deg\left ( P \right ) \geq deg\left(Q\right ), on fait la division euclidienne de P par Q : P=Q E + R_1, avec R_1=0 ou deg\left ( R_1 \right )\lt deg\left ( Q\right ), d’où R=\frac{P}{Q}=\frac{QE+R_1}{Q}=E+\frac{R_1}{Q}

Le polynôme E s’appelle la partie entière de la fraction R, tandis que la fraction\frac{R_1}{Q} s’appelle la partie polaire. La partie polaire est donc toujours telle que le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur. 

Notons que si, deg(P)\lt deg(Q), la partie entière de R=\frac{P}{Q} est nulle. 

ExempleR=\frac{X^4}{X^2-3X+2} = . . . X^2 + 3 X + 7 + \frac{15X-14}{X^2-3X+2}

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Décomposition de la partie polaire sur \mathbb {C}

Nous allons travailler sur des exemples à partir desquels nous admettrons le résultat général. 

Exemple n°1

Soit, R = \frac{15X-14}{X^2-3X+2}=\frac{15X-14}{(X-1)(X-2) 

Nous avons ici deux pôles simples. Montrons qu’il existe deux réels a et b tels que : \frac{15X-14}{(X-1)(X-2)}=\frac{a}{X-1}+\frac{b}{X-2}

Méthode 1 : On réduit au même dénominateur et on identifié les numérateurs : 

15 X -14= a(X-2)+b(X-1) \Leftrightarrow a+b=15 et -2a-b=-14 . . . 

Méthode 2 : dite méthode du « cache » (méthode astucieuse et rapide) 

  • pour avoir a, je multiplie des deux côtés par (X-1) puis je remplace X par 1 : \frac{15-14}{-1}=a
  • pour avoir b, je multiplie des deux côtés par (X-2) puis je remplace par 2 : \frac{30-14}{1}=b

Finalement, nous obtenons la décomposition de R en deux éléments simples : 

R=\frac{15X-14}{(X-1)(X-2)}=\frac{-1}{X-1}+\frac{16}{X-2}

Exemple n°2 :

Soit R=\frac{X+3}{(X-1)^2(X+1)

Ici, nous avons un pôle double et un pôle simple : il faudra prévoir deux éléments simples pour le pôle double et un pour le pôle simple. Montrons qu’il existe trois réels abc tels que : 

\frac{X+3}{(X-1)^2(X+1)}=\frac{a}{X-1}+\frac{b}{(X-1)^2}+\frac{c}{X+1}

On obtient facilement b et c par la méthode du cache. Pour a, on pourra remplacer X par 0 : 

  • \times(X-1) et X=-1 donne 1/2 =c
  • \times(X-1)^2 et X=1 donne 2=b
  • X=0 donne 3=-a+b+c, d’où a=-1/2

Finalement, nous obtenons la décomposition de R en trois éléments simples : 

\frac{X+3}{(X-1)^2(X+1)}=\frac{-1}{2(X-1)}+\frac{2}{(X-1)^2}+\frac{1}{2(X+1)}

Résultat général

Soit R=\frac{P}{Q} avec deg(P)<deg(Q). Puisqu’on travaille sur \mathbb {C} , le dénominateur se décompose en facteurs du premier degré : 

Formule 1

On démontre alors que l’on peut décomposer R, de façon unique, sous la forme : 

il suffit donc de retenir que chaque pôle a d’ordre \alphase décompose en la somme de \alpha éléments simples de la forme \frac{b_j}{(X-a)^j    (j=1 . . . \alpha). Le nombre total d’éléments simples est donc égal au degré du dénominateur. 

Exemple n°3

Le résultat précédent permet d’écrire la décomposition suivante : 

\frac{X_^5+2}{(X-1)^3(X+1)(X+2)^2}=\frac{a}{(X-1)}+\frac{b}{(X-1)^2}+\frac{c}{(X-1)^3}+\frac{d}{(X+1)}+\frac{e}{(X+2)}+\frac{f}{(X+2)^2 Il y a donc 6 coefficients à déterminer, dont 3 (cdf) sont immédiats (méthode du cache). 

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Décomposition des éléments simples sur \mathbb {R}

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Nous considérons ici des fractions rationnelles réelles, que nous voudrions décomposer en éléments simples réels. La situation est un peu plus compliquée du fait que le dénominateur Q se décompose en produit de facteurs du premier et du second degré (à discriminant négatif). Rien ne nous empêche cependant de faire (dans un premier temps) une décomposition sur \mathbb {C}

Exemple :

Soit, R=\frac{X+1}{(X^2+1)(X^2+X+1)} 

Plutôt que de commencer par faire une décomposition sur \mathbb {C}  (qui introduit des calculs un peu plus compliqués avec des nombres complexes), utilisons notre expérience qui permet de donner une décomposition à priori de la forme : 

R=\frac{X+1}{(X^2+1)(X^2+X+1)}=\frac{aX+b}{X^2+1}+\frac{cX+d}{X^2+X+1}

Avec abcd réels à déterminer. L’essentiel est dit. Il ne reste plus qu’à calculer. La méthode du cache n’est ici pas très efficace car elle oblige à calculer en nombre complexes. Préférons-lui une méthode d’identification : je réduis au même dénominateur et j’identifie les numérateurs :

X+1=(aX+b)(X^2+X+1)+(cX+d)(X^2+1)

Formule 2

D’où a=-1 ; b=1 ; c=1 ; d=0 donc \frac{X+1}{(X^2+1)(X^2+X+1)}=\frac{-X+1}{X^2+1}+\frac{X}{X^2+X+1}

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Décomposition en éléments simples (DES) sur \mathbb {R}

Du paragraphe précédent, nous retenons que pour une fraction rationnelle réelle, le dénominateur se décompose en facteurs de degré 1 ou 2. 

  • Un pôle réel d’ordre \alpha donne \alpha éléments simples de la forme \frac{a_k}{(X-a)^k} (avec k=1. . .\alpha). 
  • Un facteur du second degré et d’ordre \beta donne \beta éléments simples de la forme \frac{b_kX+c_k}{(X^2+pX+q)^k  (avec k=1, …, \beta). 

L’essentiel est dit, mais puisqu’il faut bien donner un théorème général, le voici, bien plus indigeste en apparence qu’en réalité, si du moins vous avez digéré ce qui précède : 

Théorème (DES sur \mathbb {R}  d’une fraction rationnelle réelle) :

Soit R=\frac{P}{Q} avec

Formule 3

On a donc R divisé en trois parties additionnés :

  • partie entière, obtenue par division euclidienne (E)
  • pôles réels (première somme)
  • pôles complexes conjugués (deuxième somme) tel que :

Exemple

R=\frac{X^8+2}{(X+1)(X-1)^2(X^2+2X+2)^2} se décompose sous la forme : 

E+\frac{a}{X+1}+\frac{b}{X-1}+\frac{c}{(X-1)^2}+\frac{dX+e}{X^2+2X+2}+\frac{fX+g}{(X^2+2X+2)^2

Avec E, partie entière, polynôme de degré 8-7=1.

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