Les nombres complexes


Définition de l’ensemble \mathbb {C}  des nombres complexes

Introduction

Il est bien connu que le carré x^2 de tout nombre réel x est un nombre réel positif. Donc les réels strictement négatif n’ont pas de racine carrée réelle. Par exemple : 

  • Il n’existe pas de réel a tel que a^2=-1 ; 
  • L’équation x^2+x+1=0 n’a pas de racine réelle (car \Delta =-3 n’a pas de racine carrée réelle). 

Cette situation, et quelques autres, a amené les mathématiciens à introduire un nombre noté i (i comme imaginaire !) tel que i^2=-1. Notez bien que i ne peut pas être un nombre réel : nous venons de créer un monde imaginaire, mais qui aura des applications bien réelles

Ensemble \mathbb {C}  des nombres complexes

Définition :

Soit i un nombre tel que i^2=-1.

– On appelle nombre complexe tout nombre z de la forme z=a+ib, où a et b sont des nombres réels.

– On note \mathbb {C}  l’ensemble des nombres complexes : \mathbb {C}  = \left \{ a+ib/ab \in  \mathbb {R} \}.

• Pour le complexe z=a+iba s’appelle la partie réelle de z et b sa partie imaginaire.
On note a=Re(z) et b=Im(z).

• Si Im(z)=0, le nombre complexe z s’écrit z=a et est en fait un nombre réel :
les réels sont des cas particuliers de complexes : \mathbb {R}  \subset  \mathbb {C} .

• Si Re(z)=0, le nombre complexe z s’écrit z=ib et on dit que le complexe z est imaginaire pur.

Lois sur l’ensemble \mathbb {C}

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On va définir sur l’ensemble \mathbb {C}  une addition et une multiplication. Soit z=a+ib et z'=a'+ib' deux complexes : on les addition et on les multiplie de manière « très naturelle » (pour le produit, on utilise i^2=-1) ; 

z+z'=(a+ib)+(a'+ib')=(a+a')+i(b+b')

zz'=(a+ib)(a'+ib')=aa'+iba'+iab'+i^2bb'=(aa'-bb')+i(ab'+ba')

On admettra alors que l’on peut calculer dans \mathbb {C}  exactement comme dans \mathbb {R} , simplement en remplaçant i^2 par -1 chaque fois qu’on le rencontrera. 

Exemple(2+3i)(4-2i)=8-(-6)+(-4+12)i=14+8i

Identification : si deux complexes sont égaux : a+ib=c+id, alors on peut identifier les parties réelles et imaginaires : a=c et b=d (en effet, si on avait b\neq d, alors de a-c=i(d-b) on tirerait i=\frac{a-c}{d-b} donc i serait réel, ce qui est absurde). 

Application : pour mettre un quotient \frac{z}{z'}, de deux complexes sous sa forme naturelle X+iY, on multiplie haut et bas par le conjugué {\bar {z}}' du dénominateur. 

Exemple\frac{3+2i}{2-i}=\frac{(3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{4}{5}+\frac{7}{5}i

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Représentation géométrique – Forme trigonométrique 

Représentation géométrique : images et affixes 

Vous avez compris que la donnée d’un nombre complexe z=x+iy revenait à la donnée d’un couple (xy) de nombre réels. Or, il existe une façon classique de représenter un couple de réels : par le point du plan de coordonnées (xy). 

Dans le plan rapporté à un r.o.n.d (O, \underset{i}{\rightarrow}, \underset{j}{\rightarrow}), on associe au complexe z=x+iy le point M (xy) (ou le vecteur V = \underset{OM(z)}{\rightarrow} x\underset{i}{\rightarrow} + \underset{y}{\rightarrow}) de coordonnée x et y. On introduit alors le vocabulaire suivant :

  • Le complexe z est l’affixe du point M (ou du vecteur \underset{OM}{\rightarrow}) ; 
  • Le point M (ou le vecteur \underset{OM}{\rightarrow}) est l‘image du complexe z

On pourra noter M( z ) ou \underset{OM(z)}{\rightarrow}

Vous voyez alors que si \underset{U}{\rightarrow} et \underset{V}{\rightarrow} sont les vecteurs d’affixe respective u et v, alors leur combinaison linéaire \underset{W}{\rightarrow} = \alpha \underset{U}{\rightarrow} + \beta \underset{V}{\rightarrow} est le vecteur d’affixe w=\alpha u+\beta v

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Module et argument

Le dessin du vecteur \underset{OM}{\rightarrow} d’affixe z=x+iy nous donne une autre représentation du nombre complexe z. Appelons : 

  • Module du complexe z à la longueur OM = \left \| \left \| \underset{OM}{\rightarrow} \right \| \right \|= \sqrt{x^2+y^2}, notée \left \| z \right \| ; 
  • Argument de z toute mesure \theta de l’angle (i\underset{OM}{\rightarrow}), notée arg(z)

On note arg(z)=\theta (2\pi), qui se lit « l’argument de z est égal à \theta modulo 2π« , ce qui rappelle qu’une mesure d’angle est définie à 2\pi près. 

Exemples

  1. z=1+i donne \left \| 1+i \right \|=\sqrt{2} et arg(1+i)=\pi4 ; 
  2. z=i donne \left \| i \right \|=1 et arg(i)=\pi/2 ; z=-2 donne \left \|-2\right \|=2 et arg(-2)=\pi ; 

Remarque : Un argument est donc défini à 2\pi près. On devrait donc écrire, par exemple : arg(1+i)=\pi/4+2k\pi (avec k \in  \mathbb {Z}  entier relatif). En pratique, on ne le fait pas et on choisit la mesure de l’angle dans [0,2\pi[(ou] -\pi\pi])

Ceci dit il n’est pas interdit d’écrire : arg(1+i)=\pi/4 ou arg(1+i)=9\pi/4 ou encore 4 (notez bien que ces trois mesures d’angle donnent bien le même point sur le cercle trigonométrique). 

Forme trigonométrique

La contemplation du vecteur \underset{OM}{\rightarrow} d’affixe z=x+iy nous fournit immédiatement le lien entre les coordonnées (xy) d’une part et le module et l’argument r=\left \| z \right \| et \theta=arg(z) d’autre part : x=r cos \theta et y=r sin \theta. On peut donc écrire indifféremment : z=x+iy ou z=r (cos \theta + i sin  \theta). Nous disposons donc des deux écritures : 

  1. z=x+iy, écriture dite algébrique
  2. z=r (cos \theta + i sin  \theta), écriture dite trigonométrique

Exemple

  1.  1+i=\sqrt{2} ( \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i )) =\sqrt{2} ( cos(\pi/4)+i sin(\pi/4) )
  2.  -3=3(-1+0i)=3 ( cos(\pi) + i sin(\pi) )
  3.  \sqrt{3}-i=2 ( \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i ) =\sqrt{2} ( cos(-\pi/6)+i sin(-\pi/6) )

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Module et argument d’un produit

La forme trigonométrique est très bien adaptée au produit et quotient des complexes. En effet soit z de module r et d’argument \theta et z' de module r' et d’argument \theta', c’est à dire : 

z=r(cos \theta +i sin \theta) et z'=r'(cos \theta' +i sin  \theta')

Calculons le produit zz' ainsi que l’inverse \frac{1}{z} : 

  1. zz'=r(cos \theta +i sin \theta) \times r'(cos \theta' +i sin \theta') =rr' ( cos \theta cos \theta' -sin \theta sin \theta' +i (sin \theta cos \theta'+cos \theta sin \theta') )

d’où zz'=rr'(cos(\theta+\theta')+i  sin(\theta+\theta')) : le module de zz' est rr' et un argument de zz' est \theta+\theta'

2. \frac{1}{z}=\frac{1}{r(cos\theta+isin\theta)}=\frac{cos\theta-isin\theta}{r(cos\theta+isin\theta)(cos\theta-isin\theta)}=\frac{1}{r}\frac{cos\theta-isin\theta}{cos^2\theta+sin^2\theta}

d’où \frac{1}{z}=\frac{1}{r}(cos(-\theta)+i sin (-\theta)) : le module de \frac{1}{z} est \frac{1}{r} et un argument est -\theta.

Résumons car c’est important : 

  • Le module d’un produit (resp. quotient) est le produit (resp. quotient) des modules ; 
  • l’argument d’un produit (resp. quotient) est la somme (resp. quotient) des arguments. 

ou si vous préférez : 

\left \| zz' \right \| = \left \| z \right \| \left \| z' \right \| ; arg(zz')=arg(z)+arg(z')+2k\pi 

\left \| \frac{z}{z'} \right \|=\left \| \frac{z}{z'} \right \| ; arg(\frac{z}{z'})=arg(z)-arg(z')+2k\pi

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Notation exponentielle

Posons f(\theta) = cos \theta + i sin \theta. Le paragraphe précédent nous a montré que : 

f(\theta)f(\theta')=f(\theta+\theta')

Vous reconnaissez peut-être là une propriété de la fonction exponentielle (l’exponentielle d’une somme est égale au produit des exponentielles). Cette remarque a inspiré le grand mathématicien Euler qui a décidé de poser, par définition : e^{i\theta}=cos \theta + i sin \theta

Comme nous allons le voir, cette notation est particulièrement judicieuse. 

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Définition

On introduit la notation e^{i\theta}=cos \theta + i sin \theta. Donc : 

– Le complexe e^{i\theta} est le complexe de module 1 et d’argument \theta

– Le point M(e^{i\theta}) est le point du cercle trigonométrique tel que (\underset{i}{\rightarrow}\underset{OM}{\rightarrow}) =\theta+2k\pi

Exemplee^{i\pi/2}=i ; e^{i\pi}=-1 ; e^{2i\pi}=1

Le complexe z=r (cos \theta +i sin \theta) peut donc aussi s’écrire z=r e^{i\theta} et les formules du produit et du quotient deviennent, tout simplement : 

r e^{i\theta}\times r' e^{i\theta'} = rr' e^{i(\theta+\theta')} et \frac{re^{i\theta}}{r'e^{i\theta'}}=\frac{r}{r'}e^{i(\theta-\theta')}

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Formules d’Euler et de De Moivre

Formules d'Euler et de De Moivre

(e^{i\theta})^n=e^{in\theta} d’où (cos\theta+isin\theta)^n=cosn\theta+isinn\theta  (n \in \mathbb {Z} )

Ces formules sont utiles pour linéariser une puissance de cosinus ou de sinus. 

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La fonction t\mapsto e^{at}(t \in  \mathbb {R} a \in  \mathbb {C} )

Cette fonction de \mathbb {R}  vers \mathbb {C} , est très prisée des physiciens car elle modélise les sinusoïdes amorties que l’on trouve dans des phénomènes vibratoires très simples (régimes pseudo-périodiques des pendules amortis en mécanique ou des circuits RLC en électronique). Nous allons montrer que cette exponentielle complexe se dérive et s’intègre exactement comme une exponentielle réelle. 

Soit donc f(t)=e^{at}, avec t \in  \mathbb {R}  et a=\alpha+i\beta \in  \mathbb {C}

Nous avons f(t)=e^{at}=e^{(\alpha+i\beta)t} =e^{at}(cos\beta t+isin\beta t) d’où 

f'(t)=\alpha e^{at}(cos \beta t+i sin \beta t) + e^{at}(-\beta sin \beta t+i\beta cos \beta t)=e^{at}(\alpha+i\beta) (cos \beta t+i sin \beta t)

On constate donc que (e^{at})^' = a e^{at}, ce qui est la même formule que pour a réel. Ensuite la dérivée de \frac{1}{a}e^{at} est e^{at} de sorte que \frac{1}{a}e^{at} est une primitive de e^{at}

Retenons qu’il n’y a rien à retenir ! : (e^{at})'=ae^{at}

 

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