Les polynômes


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Polynômes : définitions, opérations

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Expressions polynomiales

On appelle expression polynomiale une expression de la forme

dans laquelle les coefficients a_n et la variable x sont dans ℝ (ou dans ℂ).

Il est clair que la somme et le produit de deux expressions polynomiales est encore une expression polynomiale.

Exemple : Voici deux expressions polynomiales : P(x)=x^3+2x^2-x+1 et Q(x)=x^2+x+1. Leur somme et leur produit sont :

P(x)+Q(x)=(x^3+2x^2-x+1)+(x^2+x+1)=x^3+3x^2+2

P(x)Q(x)=(x^3+2x^2-x+1)(x^2+x+1)=x^5+3x^4+2x^3+2x^2+1

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Polynômes

On appelle fonction polynôme (ou polynôme tout court) une fonction P de la forme :

qui sera donc de ℝ vers ℝ (ou de ℂ vers ℂ), selon que l’expression polynomiale P(x) est à coefficients dans ℝ (ou ℂ).

Le plus grand indice n tel que a_n \neq 0 s’appelle de degré de P. Et donc le polynôme nul n’a pas de degré (puisqu’il n’a pas de coefficient non nul). Le degré de P (polynôme non nul) se note deg(P). En particulier : deg(P)=0 équivaut à P=a_0 constante NON NULLE.

La somme P+Q et le produit PQ de deux polynômes est encore un polynôme :

P+Q : x \rightarrow (P+Q)(x)=P(x)+Q(x)     et     PQ : x \rightarrow (PQ)(x)=P(x)Q(x) et on voit que deg(P+Q)\leq max(deg(P), deg(Q))     et     deg(PQ)=deg(P)+deg(Q).

En particulier si P \neq 0 et Q \neq 0, alors PQ \neq 0 (puisque deg(PQ)=deg(P)+deg(Q)). Par contraposition, on en déduit que PQ = 0 \Rightarrow P = 0 ou Q = 0.

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Notation usuelle des polynômes

Il est d’usage, chez les polynômes, de noter X le polynôme particulier X : x \rightarrow x.

Avec cette notation, le polynôme P = X^2+3X-1 est tout simplement la fonction x \rightarrow x^2+3x-1 car (X^2+3X-1)(x)=X^2(x)+3X(x)-1(x)=x^2+3x-1

tandis que le polynôme Q : x \rightarrow x^3+x-2 se note Q=X^3+X-2.

Bref, dans le cas général, la fonction

se note

L’ensemble de tous les polynômes à coefficients réels se note ℝ[X] et tous les polynômes à coefficients complexes se note ℂ[X]. Par exemple, P=X^2+2X-3 \in  ℝ[X] et Q=iX^2+(1+i)X+2 \in [X]. Cette notation peut aussi s’étendre en \mathbb{Q} [X] (polynômes à coefficients rationnels) ou \mathbb {Z} [X] (polynômes à coefficients entiers).

Attention de ne pas confondre le polynôme P=X^2+2X-3 \in  ℝ[X] qui est une FONCTION de ℝ vers ℝ avec l’expression polynomiale P(x)=x^2+2x-3 \in ℝ qui est la VALEUR de P en x.

Par exemple, P(3)=3^2+2\times3-3=12 est la valeur de P en 3.

L’écriture P=0 signifie que P est le polynôme nul (c’est à dire dont les coefficients sont nuls) tandis que P(x)=0 est une simple équation (dont on peut chercher les solutions).

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Division euclidienne

Vous vous rappelez de la division euclidienne (alias division sans virgule) de votre enfance : soit a et b deux entiers naturels, avec b \neq 0. Il existe un couple unique d’entiers q et r tels que :

                                                avec

et on dit que q est le quotient et r le reste de la division de a par b.

La division euclidienne de deux polynômes résulte du théorème suivant :

Théorème et définition (Division euclidienne de deux polynômes) :

Soit A et B deux polynômes, avec B \neq 0. Il existe un couple unique de polynômes Q et R tels que

avec ou

On dit que Q est le quotient et R le reste de la division de A par B.

Si R=0, on a A=BQ et on dit que A est un multiple de B, ou encore que B se factorise dans A (c’est à dire se met en facteur).

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Racines

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Définition

Soit P un polynôme. On dit que a est racine du polynôme P si P(a)=0. Il revient au même de dire que a est solution (on dit aussi racine) de l’équation P(x)=0, d’inconnue x.

Exemple : a=1 est racine « évidente » de P=X^3-1. Faisons alors la division euclidienne de X^3-1 par X-1 : on trouveX^3-1=(X-1)(X^2+X+1). On dit que (X-1) se factorise dans X^3-1 (ce qui signifie que X-1 se met en facteur dans X^3-1).

Dans mes fiches de révisions, j’offre des exercices pour bien comprendre cette méthode.

Cette situation est générale :

Théorème :

Le nombre a est racine de P si et seulement si (X-a) se factorise dans P, c’est à dire si et seulement si P=(X-a)Q, avec Q polynôme.

Remarque : A propos des racines « évidente ». Il arrive souvent qu’on cherche des racines entières d’un polynôme à coefficients entiers. Il est alors très utile de savoir qu’une telle racine r doit être un diviseur du terme constant a_0 de P. En effet soitP=a_nX^n+...a_1X+a_0 un polynôme de \mathbb {Z} [X], c’est à dire dont les coefficients sont tous entiers (a_k \in \mathbb {Z} ) :

et la quantité entre parenthèse est un entier, ce qui prouve que r est un diviseur de a_0.

Par exemple, soit P=X^3+4X^2+5X+6. Une racine entière de P doit être un diviseur de 6. Les seules valeurs possibles sont donc ±1, ±2, ±3 et ±6. En cherchant un peu, on trouve que r=-3 est racine, d’où la factorisation P=(X+3)(X^2+X+2).

Dans mes fiches de révisions, j’offre des exercices pour bien comprendre cette méthode.

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Racines simples, racines multiples

Soit à présent le polynôme P=X^4-2X^3+2X^2-2X+1, a=1 est racine d’où la factorisation P=(X-1)Q=...=(X-1)(X^3-X^2+X-1). Mais Q=X^3-X^2+X-1 possède à son tour la racine 1, donc Q=(X-1)Q_1=(X-1)(X^2+1), de sorte que P=(X-1)(X-1)(X^2+1)=(X-1)^2(X^2+1). Ainsi, on pourrait dire que le polynôme P possède « deux fois » la racine 1. On dira que a=1 est racine double de P et tout ceci nous inspire une définition :

Définition :

On dit que a est racine d’ordre k de P si P=(X-a)^kQ, c’est à dire si (X-a)^k se factorise dans P.

Remarque : On dit donc « racine d’ordre k » pour « racine d’ordre k au moins ». Sinon, il faut préciser « racine d’ordre k exactement » ce qui se traduit par « (X-a)^k se factorise dans P, mais (X-a)^{k+1} ne se factorise pas, c’est à dire P=(X-a)^kQ avec Q(a) \neq 0. L’usage veut cependant que l’on dise « racine simple » pour une racine d’ordre 1 exactement.

Exemple : Soit, P=(X-1)^2(X^4-1). On a P=(X-1)^2(X^2-1)(X^2+1)=(X-1)^3(X+1)(X^2+1) de sorte que 1 est racine triple et -1 racine simple dans ℝ. On peut y ajouter les deux racines simples \pm i dans ℂ.

 Dans mes fiches de révisions, j’offre des exercices pour bien comprendre cette méthode.

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Critère de racine multiple

Pour voir que a est racine, c’est facile : il suffit de constater que P(a)=0. Mais pour voir que a est racine multiple, c’est moins direct : on cherche à factoriser (X-a)^2, (X-a)^3, etc…

Il y a en fait une autre façon de procéder : en dérivant le polynôme P. Voyons ça pour une racine double avant d’énoncer un théorème :

  • a est racine double de P si et seulement si P=(X-a)^2Q. Dérivons : P'=2(X-a)Q+(X-a)^2Q' et donc P'(a)=0. Ainsi :
    ……………………………………………..a racine double \Rightarrow P(a)=P'(a)=0
  • Réciproquement, supposons que P(a)=P'(a)=0. Alors P(a)=0 donc P=(X-a)Q d’où P'=(X-a)Q'+Q. Mais par hypothèse P'(a)=0 donc Q(a)=0 donc X-a se factorise dans QQ=(X-a)Q_1. On en déduit que P=(X-a)^2Q_1 et donc que :
    ………………………………………………P(a)=P'(a)=0 \Rightarrow a racine double
  • Finalement, nous avons démontré que :
    ………………………….a est racine double de P si et seulement si P(a)=P'(a)=0.
    On peut le dire autrement : a est racine double de P si et seulement si a est une racine commune de P et P'. Ce résultat se généralise à une racine d’ordre quelconque :

Théorème :

a est une racine d’ordre k de P si et seulement si P(a)=P'(a)=...=P^{k-1}(a)=0

Donc a est racine d’ordre k de P si et seulement si a est une racine commune à P et ses k-1 premières dérivées.

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Factorisation des polynômes

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Racines et factorisation

Soient a, bc des racines distinctes de P. On a P(a)=0, donc (X-a) se factorise dans P et donc P=(X-a) P_1. Ensuite P(b) = 0 , donc P(b) = (b-a) P_1(b)=0. Or b \neq a, donc P_1(b)=0, de sorte que (X-b) se factorise dans P_1 et donc P=(X-a) (X-b) P_2. De même, P(c) = 0 donc P_2(c)=0 et finalement P = (X-a) (X-b) (X-c) P_3.

Plus généralement, on peut montrer, par récurrence, le résultat suivant :

Théorème :

Si a, b, c… sont racines d’ordre \alpha, \beta, \gamma, … de P, alors le produit (X-a)^\alpha (X-b)^\beta(X-c)^\gamma… se factorise dans P.

Exemple : Supposons que 2 soit racine d’ordre 3, -3 racine d’ordre 2 et -1 racine simple d’un polynôme P. Alors P est la forme P=(X-2)^3(X+3)^2(X+1)Q.

 Dans mes fiches de révisions, j’offre des exercices pour bien comprendre cette méthode.

Corollaire :

Un polynôme de degré n possède au plus n racines complexes, chacune comptée avec son ordre de multiplicité.

Par exemple, vous savez qu’un polynôme réel de degré 2 peut avoir 0 ou 2 racines réelles (distinctes ou non). Par contre, il m’est agréable de vous annoncer que ce corollaire se simplifie sur \mathbb {C} en : un polygone de degré n possède exactement n racines complexes, chacune comptée avec son ordre de multiplicité. Ce résultat bien sympathique fait l’objet du paragraphe suivant.

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Factorisation dans \mathbb {C}

Nous admettrons le théorème de d’Alembert-Gauss, parfois appelé théorème fondamental de l’algèbre : 

Théorème : 

Un polynôme de degré n possède exactement n racines dans \mathbb {C} , chacune comptée avec son ordre de multiplicité.

Soit P un polynôme de degré n et soit (b_1b_2, …, b_n) la liste de ses racines, distinctes ou non (c’est à dire une racine triple figurera trois fois dans la liste). On peut écrire :

Formule polynômes

où a est le coefficient dominant de P (c’est à dire le coefficient de X^n). En regroupant alors les racines égales dans la liste, on peut aussi décrire P par ses racines distinctes a_1... a_p, avec a_i racine d’ordre \alpha_i : 

Formule polynômes2

avec

Formule polynômes14

Autrement dit, un polynôme se factorise sur \mathbb {C}  en un produit de facteurs du premier degré. 

ExemplesP=X^4-2X^3+5X^2-8X+4 possède la racine « évidente » 1. On factorise X-1 : P=(X-1)(X^3-X^2+4X-4) et 1 est encore racine, d’où P = (X-1) (X-1) (X^2+4)=(X-1)^2(X^2+4)=(X-1)^2(X-2_i)(X+2_i)

La liste des racines, distinctes ou non, est (11-2_i2_i).

 Dans mes fiches de révisions, j’offre des exercices pour bien comprendre cette méthode.

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FACTORISATION DANS \mathbb {R}

Le théorème de d’Alembert-Gauss ne s’applique évidemment pas à \mathbb {R}  : par exemple, X^2+1 (ou tout trinôme de discriminant négatif) ne se factorise pas. Nous allons voir que ce cas est – en quelque sorte – le seul. Mais commençons par un exemple : 

Prenons l’exemple du polynôme X^4+1 : 

P=X^4+1=(X-e^{i\pi/4})(X-e^{i3\pi/4})(X-e^{i5\pi/4})(X-e^{i7\pi/4}) 

Remarquons que ses racines complexes sont conjuguées deux à deux. On peut aussi écrire, en mettant côte à côte les racines conjuguées : 

P=X^4+1=(X-e^{i\pi/4})(X-e^{-i\pi/4})(X-e^{i3\pi/4})(X-e^{-i3\pi/4})

En regroupant alors ces racines et en se rappelant que cos(x) = \frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})

X^4+1=(X^2-(e^{i\pi/4}+e^{-i\pi/4})X+1) (X^2-(e^{3i\pi/4}+e^{-3i\pi/4})X+1)

X^4+1=(X^2-2cos(\pi/4)X+1) (X^2+2cos(3\pi/4)X+1)

X^4+1=(X^2-\sqrt[]{2}X+1) (X^2+\sqrt[]{2}X+1)

et on a ainsi réussi à factoriser P en le produit de deux facteurs réels irréductibles (discriminants négatifs).

Dans mes fiches de révisions, j’offre des exercices pour bien comprendre cette méthode.

Il se trouve que cette situation est générale : 

Soit P un polynôme de \mathbb {R} [X], c’est à dire à coefficients réels, et de degré n. On cherche à le factoriser en un produit de polynômes réels. Commençons donc par le factoriser dans \mathbb {C}  : soit (d_1, …, d_n) la liste de ses n racines complexes, distinctes ou non avec a \in \mathbb {R}

Formule polynômes4

Certaines racines peuvent être réelles, les autres étant des complexes non réels. Le remarque fondamentale est alors que : 

Si c est une racine non réelle d’un polynôme P \in  \mathbb {R}  [X], alors sa conjuguée (noté « c barre ») est aussi racine. 

Prouvons-le : soit P et soit c une racine de P,

Formule polynômes5

Formule polynômes7

(car le conjugué d’une somme est la somme des conjugués et le conjugué d’un produit est le produite des conjugués). 

Or, P est à coefficients réels, donc a_k \in  \mathbb {R} , donc a_k est égal à son conjugué (noté a_k « barre »). Donc : 

Formule polynômes8

Équivaut à dire que le conjugué de c est racine de P. Ainsi les racines non réelles de P vont par paires : « cc barre ». Considérons donc dans la liste (d_1, …,d_n) des n racines de P, celles qui sont réelles : (b_1...b_p) et celles qui sont non réelles et qui vont par paires, disons (c_1, c_1 « barre » ; c_2, c_2 « barre » ;… ; c_s, c_s « barre ») : 

Formule polynômes9

avec p+2s=n. En développant ensuite chaque produit : 

Formule polynômes10

il vient de la décomposition de P en facteurs réels : 

Formule polynômes11

Notez bien que chacun des facteurs réels du second degré est irréductible puisque ses racines sont les complexes c_j, c_j « barre ». En regroupant éventuellement les racines multiples, nous avons obtenus le : 

Corollaire : 

Tout polynôme réel de degré n se factorise en un produit de polynômes réels de degré 1 ou de degré 2 à discriminant négatif : 

Formule polynômes12

avec

Formule polynômes13

Exemple : Soit, P = X^5+X^3-8X^2-8. On vérifie que i est racine : P(i) = i^5+i^3-8i^2-8=i-i+8-8=0 donc i « barre » est aussi racine. Disposant des deux racines i et i « barre » = -i, on sait que (X-i)(X+i)=X^2+1 se factorise dans P : 

P = (X^2+1)(X^3-8)

 

Mais, ce n’est pas fini car un polynôme de degré 3 doit se factoriser dans \mathbb {R} [X] . En fait 2 est racine évidente de (X^3-8) ce qui laisse la factorisation : 

P=(X^2+1)(X-2)(X^2+2X+4)

Et là, c’est bien fini car X^2 + 2X+4  est irréductible sur \mathbb {R}  :\Delta =-12

 

Source : Cours algèbre Licence PCI
……….……Jean-François Martin – Professeur classes préparatoire/universitaire

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