Séries numériques


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Définitions

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Définition

Soit (u_n)_N une suite numérique (avec u_n \in ℝ ou ℂ).
Étudier la SÉRIE de terme général u_n  revient à analyser la SUITE de terme général

  • La SERIE de terme général u_n est convergente (cv) si la suite de terme général s_n est convergente. La limite de la suite (s_n) est alors notée.
  • Et réciproquement lorsqu’elle est divergente (dv).

Remarque : Les 2 cas de divergence :

  • La série diverge avec s=\pm\infty lorsque la suite (s_n) diverge vers \pm\infty.
  • La série diverge et sa somme n’a aucun sens lorsque la suite (s_n) n’a pas de limite.

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Vocabulaire

  • Une série est une somme de terme.
  • S’il y a CV de la série; lorsque n\rightarrow+\infty,avec :

◊ la somme partielle d’ordre n de la série de termeet

◊ le reste d’ordre n de la série de terme.

 

Remarque : On a r_n=s-s_n uniquement lorsque la série est convergente si et seulement si son reste r_n  tend vers 0 quand n tend vers l’infini.

  • Pour qu’une série converge, il est nécessaire que son terme général tende vers 0.
  • Si le terme général ne tend pas vers 0, alors la série diverge, on dit même que la série est grossièrement divergente.

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Séries de Riemann

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La série de Riemannest convergente si et seulement si \alpha<1.

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Séries à termes positifs

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Pour avoir la nature d’une série à termes positifs, il suffit de regarder si les sommes partielles sont majorées ou pas.

Soit (u_n) et (v_n) deux suites positives.

  • Si u_n\leq v_n , alorsconvergeconverge aussi
  • Si u_n\sim v_n, alors les sérieset sont de même nature

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Séries absolument convergentes

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Pour avoir la nature d’une série dont les termes ne sont pas de signe constant, ou à termes complexes, il suffit de regarder si la série est absolument convergente.

  • La sérieest absolument convergente (ACV) si la série des modulesCV.
  • Si la série est absolument convergente, elle est alors convergente.
  • Mais si la série et convergente, elle n’est pas forcément absolument convergente.

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Critère de d’Alembert

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Utiliser le critère d’Alembert revient à comparer la série étudiée à une série géométrique. Afin de déterminer la nature de la série, on utilisera la limite du quotient r=\left \|\frac{u_{n+1}}{u_n} \right \| quand n tend vers l’infini.

Soit, (u_n) une suite numérique et soit l=\lim_{{n\to+\infty}}\left \|\frac{u_{n+1}}{u_n} \right \|.

  • l<1absolument convergente (donc cv)
  • l>1grossièrement divergente (donc dv)
  • l=1     On ne peut rien dire → Voir avec la méthode de Riemann

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Séries alternées

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Une série alternée est une série dont le terme général est alternativement positif ou négatif, il est de la forme u_n=(-1)^na_n (ou bien u_n=(-1)^{n+1}a_n) avec a_n\geq 0. Sa somme s serait :

Lorsque la suite (a_n) est décroissante et convergente vers 0, on déduit facilement que les deux suites (s_{2n}) et (s_{2n+1}) formées des sommes partielles d’ordre pair et impair sont adjacentes et convergent donc vers une même limite s.

La série alternée est donc convergente et sa somme s est encadrée par les sommes partielles : s_{2n+1}\leq s\leq s_{2n}

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Théorème des séries alternées (TSA)

  • Si une série alternée (avec a_n\geq 0) est telle que la suite a_n est décroissante vers 0, alors :

◊ La série converge

◊ La valeur absolue de son reste est : \left \| r_n \right \|=\left \| s-s_n \right \|\leq a_{n+1}

 

  • Majoration de l’erreur de méthode lorsqu’on approche la somme s d’une série par sa somme partielle s_n

 

  • Permet d’étudier les séries de Riemann alternées :

\alpha>1     Absolument convergentes, donc convergentes

0<\alpha\leq 1Convergentes via le TSA (mais non ACV)

\alpha\leq 0    Grossièrement divergentes (car le terme général ne tend pas vers 0).

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