La transformée de Laplace


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Utiliser la transformée de Laplace permet de transformer les équations différentielles qui régissent nos circuits électroniques en équations algébriques, du moins lorsque les signaux qui interviennent sont sinusoïdaux.

C’est une idée qui a été mise en œuvre par le mathématico-physicien anglais Olivier Heaviside (1850-1925). Elle permet de développer un calcul symbolique qui transforme la dérivation en une multiplication et donc les équations différentielles linéaires (d’ordre quelconque et à coefficients constants) en équations algébriques. Elle offre de nombreuses applications, notamment en électronique et en automatique.

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Définitions

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Définition

Soit une fonction f : [0,+\infty]\rightarrow ℂ.
La fonction F avec     (p \in ℝ)     est appelée transformée de Laplace de la fonction f :

  • t est la variable réelle (on parle de variable temporelle) de la fonction f.
  • p est la variable réelle (on parle de variable symbolique) de la fonction F.
  • f est l’original ou encore, la transformée inverse de F.
  • F est l’image de la transformation.

Autres notations :

  • F={\mathcal {L}}(f)
  • F(p)={\mathcal {L}}(f)(p)
  • Par abus d’écriture F(p)={\mathcal {L}}(f(t)) mais l’écriture correcte serait F(p)={\mathcal {L}}(t \to{f(t))(p)}

Remarque : Dans ce chapitre, on va se considérer la transformée de Laplace comme une fonction de la variable réelle (p \in ℝ) car on ne connait pas grand chose des fonctions de ℂ vers ℂ.

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Un original est une fonction causale

La transformée de Laplace est une intégrale généralisée, mais en regardant de plus près, on voit qu’elle est convergente sur \left [ 0;+\infty \right ] « grâce » à l’exponentielle et elle est vérifiée par la plupart des fonctions usuelles.

La transformée de Laplace F est une intégrale sur l’intervalle [0,+\infty[. En transformée de Laplace, il est d’usage de supposer que l’original f est nul pour t<0.
On parle donc de fonction causale.
La causalité répond à une réalité physique, la fonction f modélise une action (une tension électrique, une impulsion mécanique, une quantité de chaleur, …) que l’on applique à l’instant t=0, et on étudie l’évolution du système « causée » par f.

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L’échelon de Heaviside

L’échelon (unité) de Heaviside est la fonction U qui vaut 0 si t<0 et 1 si t\geq 0.
On peut l’utiliser pour transformer une fonction en une fonction causale : il suffit de multiplier par U.

Par la suite nous supposerons que tous les originaux sont des fonctions causales.

Voici la transformée F={\mathcal {L}}(U) de l’échelon de Heaviside :

     avec (p>0)

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Propriétés de la transformation de Laplace

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Dans la plupart des cas que l’on va traiter lorsqu’on utilisera la transformation de Laplace, on utilisera soit les tables qui donnent les transformées usuelles soit les propriétés ci-dessous.

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Linéarité

La transformation de Laplace est linéaire c’est-à-dire que quelles soient les fonctions fg et deux nombres complexes a et b: {\mathcal {L}}\left\{af+bg\right\}=a\,{\mathcal {L}}\left\{f\right\}+b\,{\mathcal {L}}\left\{g\right\}.

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Homothétie temporelle

Soit a>0 et F={\mathcal {L}}(f)     {\mathcal {L}}(f(at))=\frac{1}{a}F(\frac{p}{a})

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Translation temporelle (ou retard)

L’application t\mapsto(t-t_0)U(t-t_0) est la fonction f « retardée de t_0« . Graphiquement, on voit que f est « décalée » de t_0 vers la droite. La présence de U(t-t_0) rappelle que la fonction causale ainsi retardée est nulle pour t<t_0.
{\mathcal {L}}(f(t-t_0)U(t-t_0))=e^{-pt_0}{\mathcal {L}}(f(t))
La propriété du retard s’écrit aussi : {\mathcal {L}}(f_{t_0})(p)=e^{-pt_0}{\mathcal {L}}(f)(p)

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Transformée de la dérivée

Comme dit dans le deuxième paragraphe, l’essence même de la transformée de Laplace est de « transformer la dérivation en multiplication ».
Soit f continue sur ]0,+\infty[ et dérivable par morceaux : {\mathcal {L}}(f')(p)=p{\mathcal {L}}(f)(p)-f(0^+)
Dans certaines matières d’électroniques, on nous introduit la transformée de Laplace en disant qu’on remplace l’opérateur de dérivation \frac{d}{dt} par la multiplication par p,
ce qui nous donne \frac{d}{dt}(e^{pt})=pe^{pt}.

Sous hypothèse de continuité des dérivés successives, on peut répéter ce processus :
{\mathcal {L}}(f^{(n)})(p)=p^{n}{\mathcal {L}}(f)(p)-p^{n-1}f(0^+)-p^{n-2}f'(0^+)-...-f^{(n-1)}(0^+)
Ce qui permet de transformer des équations différentielles linéaires à coefficients constants d’ordre n en une équation algébrique, transformation largement appréciée par des automaticiens. Voici quelques exercices pour y voir plus clair.

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Transformée d’une primitive

C’est l’opération inverse de ce que l’on vient de voir précédemment car la dérivation de l’original revient à multiplier sa transformée par p, sa primitivation va diviser la transformée par p : {\mathcal {L}}\left ( \int_{0}^{t}f(u)du\right )=\frac{F(p)}{p}

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Dérivée de la transformée

La dérivée (par rapport à p) de la transformée F(p-p_0)={\mathcal {L}}(e^{p_0t}f(t)) de l’original f(t) est donnée par : F'(p)={\mathcal {L}}(-tf(t))

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Transformation de la variable symbolique

Soit F(p)={\mathcal {L}}(f)(p) et p_0\in ℂ. Alors : F(p-p_0)={\mathcal {L}}(e^{p_0t}f(t))

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Transformée d’une fonction périodique

Soit f une fonction T-périodique et soit g le « motif » qui se reproduit avec la période T, cela signifie simplement que g est la fonction égale à f sur la période [0,T] et 0 ailleurs. Donc, la transformée d’une fonction T-périodique f s’obtient à partir de sa restriction g sur [0,T] par : {\mathcal {L}}(f)(p)=\frac{{\mathcal {L}}(g)(p)}{1-e^{-pT}}

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Transformée d’un produit de convolution (L3)

Par définition, le produit de convolution de deux fonctions f et g (causales) est, par définition, la fonction notée f*g donnée par l’intégrale généralisée : (f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(u)g(t-u)du

La transformée d’un produit de convolution est le produit des transformées : {\mathcal {L}}(f*g)={\mathcal {L}}(f){\mathcal {L}}(g)

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Transformation inverse de Laplace

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Maintenant que vous savez appliquer la méthode traditionnelle afin de résoudre des équations différentielles linéaires, vous allez apprendre à le faire avec la transformée de Laplace.

La transformée de Laplace propose une autre méthode de résolution : on cherche dans un premier temps la transformée X(p)={\mathcal {L}}(x(t)) de la solution, dont on déduit ensuite la solution cherchée par transformation inverse : x(t)={\mathcal {L}}^{-1}(X(p)).

Étant donnée une fonction G(p), comment trouver sa transformée inverse, c’est-à dire un original g(t) tel que {\mathcal {L}}(g)=G. Dans la pratique, on utilise les tables ainsi que les différentes propriétés vues précédemment, à condition toutefois de se ramener aux formes normalisées qui s’y trouvent.

Il y a un cas particulier que l’on doit connaître, si G(p) est une fraction rationnelle.
Pour déterminer l’original on procède ainsi :

  • Décomposer la fraction G(p) en éléments simples,
  • Déterminer un original de chaque élément simple,
  • Déduire un original global par linéarité.

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