Les grandeurs, les dimensions et les unités

Qui suis-je ?

Je suis Rémi Fonvieille, ex-étudiant en Licence EEA, je me suis tout naturellement dirigé vers un Master Robotique. Je suis moi-même passé par ces moments de recherche d’information sans réels trouvaille. C’est pour cela que j’ai fais ce travail pour vous !

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Objectifs

Les principaux objectifs de cet articles sont :

Connaître les termes grandeurs, dimension et unité
Connaître les sept grandeurs fondamentales
Savoir utiliser l’équation aux dimensions
Connaître les unités de base fréquemment rencontrées.

Grandeur

Une grandeur X est la caractéristique d’un phénomène, d’un corps ou d’une substance, qui peut être définie qualitativement et déterminée quantitativement.

Toute grandeur peut s’exprimer à partir de sept grandeurs fondamentales. Le choix de ces grandeurs fondamentales est arbitraire.

On associe à chaque grandeur X une dimension notée [X] ou dimX permettant l’analyse dimensionnelle du système. Les dimensions des sept grandeurs fondamentales s’écrivent sans crochet :

Dimension

L’équation aux dimensions est une équation reliant la dimension d’une grandeur physique à celles des grandeurs de base. Elle permet de trouver la dimension d’une grandeur physique.

Les deux membres d’une équation littérale, les différents termes d’une somme ou d’une différence représentent une même grandeur et ont donc la même dimension.

Remarque : L’argument d’une fonction mathématique est sans dimension.

Voici quelques exemples d’équations aux dimensions :

L’accélération : $a_x=\frac{d^2x}{dt^2}$ d’où sa dimension : $[a]=\frac{x}{t^2}=\frac{L}{T^2}=L.T^{-2}$ qui s’exprime en m.s^-2
Le poids : $P=mg$ d’où sa dimension : $[P]=[m][g]=M.L.T^{-2}$ qui s’exprime en kg.m.s^-2 ou en Newton N
La longueur d’un arc de cercle : d’où la dimension de l’angle :
- $[\Theta ]=\frac{[l]}{[r]}=\frac{L}{L}=1$ Ce qui signifie qu’un angle est sans dimension

La valeur d’une grandeur est l’expression quantitative exprimée par un nombre, elle peut être positive, négative ou nulle.

Unité

La mesure d’une grandeur X consiste à lui attribuer une valeur quantitative en prenant pour référence une grandeur de même nature appelée unité (U).

Le résultat de la mesure d’une grandeur X est un nombre accompagné de son unité.

Une unité est dite de base si elle est indépendante de toutes les autres, ce qui exige qu’on la rattache à un étalon, choisi par convention. Le système international (SI) compte sept unités de base associées aux sept grandeurs de base définies précédemment.

Deux unités supplémentaires sont définies pour l’angle plan et l’angle solide. Il est à noter que ces deux grandeurs sont sans dimension.

Les autres unités sont des unités dérivées, elles découlent des précédentes à partir des équations aux dimensions.

Voici quelques exemples d’unités dérivées :

L’accélération et le poids vue précédemment
La pression : $p=\frac{F}{s}$ d’où sa dimension $[p]=\frac{F}{S}=M.L^{-1}.T^{-2}$ qui s’exprime en kg.m^-1.s^-2 ou en Pascal Pa