Décomposition éléments simples – transformée de Laplace

Algèbre6 commentaires

Qui suis-je ?

Je suis Rémi Fonvieille, ex-étudiant en Licence EEA, je me suis tout naturellement dirigé vers un Master Robotique. Je suis moi-même passé par ces moments de recherche d’information sans réels trouvaille. C’est pour cela que j’ai fais ce travail pour vous !

Introduction

Comme je l’ai dis précédemment, en transformée de Laplace (et pas seulement), il est capital de savoir faire des décompositions en éléments simples des fractions rationnelles surtout en L2.
Alors révisons avec ces 6 petits exemples.

  • EXEMPLE 1:     I=\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x(x+1)}

On cherche à décomposer en éléments simples \frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}.

On applique la méthode du cache :

  • On multiplie par x l’équation du dessus puis on remplace x parx=0. Donc, A=1
  • On fait pareil pour x+1 puis on remplace x par x=1. Donc, B=-1
\Rightarrow\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}
I=[ln|x|-ln|x+1| ]_{1}^{p}
=\lim_{p\rightarrow+\infty} ln(p)-\lim_{p\rightarrow+\infty} ln(p+1)+ln(2)
=ln(2)
  • Exemple 2 :     J=\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2+5x+6}

On cherche la racine du polynôme x^2+5x+6.
\Delta =1\gt 0     Donc,      x_1=-3     et     x_2=-2.
On peut donc factoriser le polynôme x^2+5x+6=(x+3)(x+2)

On cherche à décomposer en éléments simples \frac{1}{(x+3)(x+2)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x+2}.

On applique la méthode du cache :

  • \times(x+3)\overset{x=-3}{\rightarrow}A=-1
  • \times(x+2)\overset{x=-2}{\rightarrow}B=1
J=\int_{1}^{p} (\frac{-1}{x+3}+\frac{1}{x+2})dx
=[-ln|x+3|+ln|x+2| ]_{1}^{p}
=[ln|\frac{x+2}{x+3} |]_{1}^{p}
=ln(\frac{p+2}{p+3})-ln(\frac{3}{4})

Or, \lim_{p\rightarrow+\infty}(\frac{p+2}{p+3})=\lim_{p\to+\infty}( \frac{p}{p})=1     et     ln(1)=0

Donc, J=ln(\frac{4}{3})

  • EXEMPLE 3 :     K=\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2(x+1)}

On cherche à décomposer en éléments simples \frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{A}{x^2}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+1}.

On applique la méthode du cache :

  • \times(x^2)\overset{x=0}{\rightarrow}A=1
  • \times(x)\overset{x=1}{\rightarrow}A+B+\frac{C}{2}=\frac{1}{2}
  • \times(x+1)\overset{x=-1}{\rightarrow}C=1

On trouve B=-1 lorsqu’on injecte A et C dans l’équation A+B+\frac{C}{2}=\frac{1}{2}.

\Rightarrow\frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{1}{x^2}+\frac{-1}{x}+\frac{1}{x+1}
K=[\frac{-1}{x}-ln|x|+ln|x+1|] _{1}^{p}=\lim_{p\rightarrow+\infty}(\frac{-1}{p})-\lim_{p\rightarrow+\infty}(ln(p))+\lim_{p\rightarrow+\infty}(ln(p+1))+1-ln(1)-ln(2)
=0-\lim_{p\rightarrow+\infty}(ln(p))+\lim_{p\rightarrow+\infty}(ln(p))+1-ln(2)
=1-ln(2)
  • EXEMPLE 4 :     L=\int_{1}^{+\infty} \frac{dt}{t^2+1}

On oublie la méthode du cache, parce qu’on a repéré de loin que c’était la dérivée de la fonction arctan(t).
Non pas toi ? Beh maintenant tu n’as plus aucune excuse !! ????

L=[arctan(t)]_{1}^{p}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}
  • EXEMPLE 5 :     M=\int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{t^2+4}

Idem ici, sauf que je l’avoue, il faut le voir, là on devrait voir la dérivé de la fonction arctan(u)=\frac{u'}{1+u^2}.

Testons quelque chose par le pur des hasards :
[\frac{1}{2}arctan(\frac{t}{2})]'=\frac{1}{2}.\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{t^2}{2^2}}=\frac{\frac{1}{4}}{(1+\frac{t^2}{4})}=\frac{1}{t^2+4}

On en a de la chance ????

Donc, P=[\frac{1}{2}arctan(\frac{t}{2})] _{0}^{p}=\lim_{p\to+\infty} [\frac{1}{2}arctan(\frac{t}{2})]=\frac{\pi}{2}

  • EXEMPLE 6 :     N=\int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{t^2+2t+2}

Tu ne vois rien ? ???? Il fallait encore voir la dérivée de la fonction arctan(u).

Donc, N=[arctan(t+1)] _{0}^{p}=\lim_{p\to+\infty} (arctan(t))-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}

Gagnez du temps pour être plus productif

Les meilleures méthodes d’organisation pour gagner du temps et être productif.

Vous souhaitez réussir votre Licence EEA ?

« Tes fiches m’ont permises d’approfondir mes cours nottament sur les équations différentielles »

Réussissez toutes vos équations différentielles

Une formation clé en main pour réussir toutes vos équations différentielles.

Pour vous aider à réviser, je vous offre :

✔️ 20 fiches de révision
✔️ 
annales corrigées
✔️
 
un accès au groupe privé
✔️
 
une notification lors de chaque publication d’article de cours

Pour vous aider à réviser, je vous offre :

✔️ 20 fiches de révision
✔️ 
annales corrigées
✔️
 
un accès au groupe privé
✔️
 
une notification lors de chaque publication d’article de cours

6 Commentaires

Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.

Envie d'obtenir votre Licence EEA ?

Recevez des FICHES RECAPITULATIVES ainsi que des ANNALES CORRIGÉES 

You have Successfully Subscribed!

Envie d'obtenir votre Licence EEA ?

Recevez des FICHES RECAPITULATIVES ainsi que des ANNALES CORRIGÉES 

You have Successfully Subscribed!