La fonction exponentielle

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Qui suis-je ?

Je suis Rémi Fonvieille, ex-étudiant en Licence EEA, je me suis tout naturellement dirigé vers un Master Robotique. Je suis moi-même passé par ces moments de recherche d’information sans réels trouvaille. C’est pour cela que j’ai fais ce travail pour vous !

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Objectifs

Les principaux objectifs de cet articles de cours sont :

Connaître la forme générale de la fonction exponentielle
Connaître les propriétés générales de la fonction exponentielle
Connaitre les propriétés aux limites de la fonction exponentielle

Formulaire exponentielle

Fonction continue et dérivable sur ℝ

Dérivée $(e^x)'=e^x$ pour réel x

La fonction exponentielle est strictement positive et croissante sur ℝ

$e^0=1$

Propriétés de la fonction exponentielle

Quels que soient les réels $a$ et $b$ et l’entier $n$ :

exp(2a)=(exp(a))^2

exp(a-b)=\frac{exp(a)}{exp(b)}

exp(a+b)=exp(a)\times exp(b)

exp(na)=(exp(a))^n

L’image de 1 par la fonction exponentielle est notée e , c’est à dire $exp(1)=e$

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ

Sa dérivée $(e^u)'=u'e^u$ pour tout réel $x$

La fonction $e^u$ a le même sens de variation que $u$

Pour tous réels $a$ et $b$ , $e^a=e^b$ équivaut à $a=b$

Pour tous réels $a$ et $b$ , $e^a<e^b$ équivaut à $a<b$

Propriétés de la fonction exponentielle aux limites

$\lim_{x\to+\infty} e^x=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty} e^x=0$

$\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty$

$\lim_{x\to-\infty} xe^x=0$

$\lim_{x\to0} \frac{e^x-1}{x}=1$

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