Formulaire sur la fonction exponentielle - Licence EEA

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Objectifs

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Les principaux objectifs de cet articles de cours sont :

Connaître la forme générale de la fonction exponentielle
Connaître les propriétés générales de la fonction exponentielle
Connaitre les propriétés aux limites de la fonction exponentielle

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Formulaire exponentielle

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Fonction continue et dérivable sur ℝ
dérivée $(e^x)'=e^x$ pour tout réel $x$
La fonction exponentielle est strictement positive et croissante sur ℝ
$e^0=1$

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Propriétés de la fonction exponentielle

Quels que soient les réels $a$ et $b$ et l’entier $n$ :
- $exp(2a)=(exp(a))^2$
- $exp(a-b)=\frac{exp(a)}{exp(b)}$
- $exp(a+b)=exp(a)\times exp(b)$
- $exp(na)=(exp(a))^n$
L’image de 1 par la fonction exponentielle est notée $e$ , c’est à dire $exp(1)=e$
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ
Sa dérivée $(e^u)'=u'e^u$ pour tout réel $x$
La fonction $e^u$ a le même sens de variation que $u$
Pour tous réels $a$ et $b$ , $e^a=e^b$ équivaut à $a=b$
Pour tous réels $a$ et $b$ , $e^a<e^b$ équivaut à $a<b$

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Propriétés de la fonction exponentielle aux limites

$\lim_{x\to+\infty} e^x=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty} e^x=0$

$\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty$
$\lim_{x\to-\infty} xe^x=0$
$\lim_{x\to0} \frac{e^x-1}{x}=1$

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