La fonction exponentielle

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Qui suis-je ?

Je suis Rémi Fonvieille, ex-étudiant en Licence EEA, je me suis tout naturellement dirigé vers un Master Robotique. Je suis moi-même passé par ces moments de recherche d’information sans réels trouvaille. C’est pour cela que j’ai fais ce travail pour vous !

Objectifs

Les principaux objectifs de cet articles de cours sont :

  • Connaître la forme générale de la fonction exponentielle
  • Connaître les propriétés générales de la fonction exponentielle
  • Connaitre les propriétés aux limites de la fonction exponentielle

Formulaire exponentielle

  • Fonction continue et dérivable sur ℝ
  • Dérivée (e^x)'=e^x pour réel x
  • La fonction exponentielle est strictement positive et croissante sur ℝ
  • e^0=1

Propriétés de la fonction exponentielle

  • Quels que soient les réels a et b et l’entier n  :
exp(2a)=(exp(a))^2
exp(a-b)=\frac{exp(a)}{exp(b)}
exp(a+b)=exp(a)\times exp(b)
exp(na)=(exp(a))^n
  • L’image de 1 par la fonction exponentielle est notée e , c’est à dire exp(1)=e
  • Soit  u une fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ
  • Sa dérivée  (e^u)'=u'e^u pour tout réel x
  • La fonction e^u a le même sens de variation que u
  • Pour tous réels a et b ,  e^a=e^b équivaut à  a=b
  • Pour tous réels a et b , e^a<e^b équivaut à a<b

Propriétés de la fonction exponentielle aux limites

  • \lim_{x\to+\infty} e^x=+\infty et \lim_{x\to-\infty} e^x=0
  • \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty
  • \lim_{x\to-\infty} xe^x=0
  • \lim_{x\to0} \frac{e^x-1}{x}=1

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