Partie entière et partie polaire
.
Fractions rationnelles
De même qu’une fraction (ou nombre rationnel)
est un quotient de deux entiers de
(avec
0), une fraction rationnelle est un quotient
de deux polynômes, (avec
0).
Une racine (d’ordre
) du dénominateur
s’appelle pôle (d’ordre
) de la fraction
.
Exemple : La fraction
possède deux pôles : le pôle double et le pôle simple
. On peut lui associer la fonction rationnelle de
vers
donnée par
=
dont le domaine de définition est
.
Nous supposerons toujours dans la suite que les fractions rationnelles sont irréductibles, c’est à dire que le numérateur et le dénominateur n’ont aucune racine commune (si est racine commune, alors on peut diviser haut et bas par
)
.
Partie entière et partie polaire
Considérons le nombre rationnel . La division euclidienne du numérateur 31 par le dénominateur 9, (31 = 9 x 3 + 4) permet d’obtenir la partie entière de la fraction
(c’est à dire le plus grand entier inférieur ou égal à
) :
écriture dans laquelle
est la partie entière et
la partie fractionnaire de la fraction
.
De manière analogue, soit une fraction rationnelle. Si
, on fait la division euclidienne de
par
:
, avec
ou
, d’où
.
Le polynôme s’appelle la partie entière de la fraction
, tandis que la fraction
s’appelle la partie polaire. La partie polaire est donc toujours telle que le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.
Notons que si, , la partie entière de
est nulle.
Exemple : . . .
.
Décomposition de la partie polaire sur 
.
Nous allons travailler sur des exemples à partir desquels nous admettrons le résultat général.
Exemple n°1 :
Soit,
Nous avons ici deux pôles simples. Montrons qu’il existe deux réels et
tels que :
Méthode 1 : On réduit au même dénominateur et on identifié les numérateurs :
et
. . .
Méthode 2 : dite méthode du « cache » (méthode astucieuse et rapide)
- pour avoir
, je multiplie des deux côtés par
puis je remplace
par
:
- pour avoir
, je multiplie des deux côtés par
puis je remplace par
:
.
Finalement, nous obtenons la décomposition de en deux éléments simples :
Exemple n°2 :
Soit
Ici, nous avons un pôle double et un pôle simple : il faudra prévoir deux éléments simples pour le pôle double et un pour le pôle simple. Montrons qu’il existe trois réels ,
,
tels que :
On obtient facilement et
par la méthode du cache. Pour
, on pourra remplacer
par 0 :
et
donne
et
donne
donne
, d’où
Finalement, nous obtenons la décomposition de en trois éléments simples :
Résultat général :
Soit avec
. Puisqu’on travaille sur
, le dénominateur se décompose en facteurs du premier degré :
On démontre alors que l’on peut décomposer , de façon unique, sous la forme :
il suffit donc de retenir que chaque pôle d’ordre
se décompose en la somme de
éléments simples de la forme
(
. . .
). Le nombre total d’éléments simples est donc égal au degré du dénominateur.
Exemple n°3 :
Le résultat précédent permet d’écrire la décomposition suivante :
Il y a donc 6 coefficients à déterminer, dont
(
,
,
) sont immédiats (méthode du cache).
.
Décomposition des éléments simples sur 
.
Nous considérons ici des fractions rationnelles réelles, que nous voudrions décomposer en éléments simples réels. La situation est un peu plus compliquée du fait que le dénominateur se décompose en produit de facteurs du premier et du second degré (à discriminant négatif). Rien ne nous empêche cependant de faire (dans un premier temps) une décomposition sur
.
Exemple :
Soit,
Plutôt que de commencer par faire une décomposition sur (qui introduit des calculs un peu plus compliqués avec des nombres complexes), utilisons notre expérience qui permet de donner une décomposition à priori de la forme :
Avec ,
,
,
réels à déterminer. L’essentiel est dit. Il ne reste plus qu’à calculer. La méthode du cache n’est ici pas très efficace car elle oblige à calculer en nombre complexes. Préférons-lui une méthode d’identification : je réduis au même dénominateur et j’identifie les numérateurs :
D’où ;
;
;
donc
.
Décomposition en éléments simples (DES) sur 
Du paragraphe précédent, nous retenons que pour une fraction rationnelle réelle, le dénominateur se décompose en facteurs de degré 1 ou 2.
- Un pôle réel d’ordre
donne
éléments simples de la forme
(avec
,
,
).
- Un facteur du second degré et d’ordre
donne
éléments simples de la forme
(avec
, …,
).
L’essentiel est dit, mais puisqu’il faut bien donner un théorème général, le voici, bien plus indigeste en apparence qu’en réalité, si du moins vous avez digéré ce qui précède :
Théorème (DES sur
d’une fraction rationnelle réelle) :
Soit
avec
On a donc
divisé en trois parties additionnés :
- partie entière, obtenue par division euclidienne (
)
- pôles réels (première somme)
- pôles complexes conjugués (deuxième somme) tel que :
Exemple :
se décompose sous la forme :
Avec , partie entière, polynôme de degré
.
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