Les fractions rationnelles

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Je suis Rémi Fonvieille, ex-étudiant en Licence EEA, je me suis tout naturellement dirigé vers un Master Robotique. Je suis moi-même passé par ces moments de recherche d’information sans réels trouvaille. C’est pour cela que j’ai fais ce travail pour vous !

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Partie entière et partie polaire

Fractions rationnelles

De même qu’une fraction (ou nombre rationnel) $r=frac{p}{q}$ $in$ $mathbb{Q}$ est un quotient de deux entiers de $mathbb {Z}$ (avec $q$ $neq$ 0), une fraction rationnelle est un quotient $R=frac{P}{Q}$ de deux polynômes, (avec $Q$ $neq$ 0).

Une racine $a$ (d’ordre $alpha$ ) du dénominateur $Q$ s’appelle pôle (d’ordre $alpha$ ) de la fraction $R=frac{P}{Q}$ .

Exemple : La fraction $R=frac{X+3}{X^3+X^2-X-1}$ $=$ $frac{X+3}{(X+1)^2(X-1)}$

possède deux pôles : le pôle double $a=-1$ et le pôle simple $a=1$ . On peut lui associer la fonction rationnelle de $mathbb {R}$ vers $mathbb {R}$ donnée par $xmapsto R(x)$ = $frac{x+3}{(x+1)^2(x-1)}$ dont le domaine de définition est $mathbb {R}$ $-left { -1,1 right }$ .

Nous supposerons toujours dans la suite que les fractions rationnelles sont irréductibles, c’est à dire que le numérateur et le dénominateur n’ont aucune racine commune (si $a$ est racine commune, alors on peut diviser haut et bas par $(X-a)$ )

Partie entière et partie polaire

Considérons le nombre rationnel $r=frac{31}{9}$ . La division euclidienne du numérateur 31 par le dénominateur 9, (31 = 9 x 3 + 4) permet d’obtenir la partie entière de la fraction $r$ (c’est à dire le plus grand entier inférieur ou égal à $r$ ) : $r = frac{31}{9}=frac{9times3+4}{9}=3+frac{4}{9}$ écriture dans laquelle $3$ est la partie entière et $frac{4}{9}$ la partie fractionnaire de la fraction $frac{31}{9}$ .

De manière analogue, soit $R=frac{P}{Q}$ une fraction rationnelle. Si $degleft ( P right ) geq degleft(Qright )$ , on fait la division euclidienne de $P$ par $Q$ : $P=Q$ $E$ $+$ $R_1$ , avec $R_1=0$ ou $degleft ( R_1 right )lt degleft ( Qright )$ , d’où $R=frac{P}{Q}=frac{QE+R_1}{Q}=E+frac{R_1}{Q}$ .

Le polynôme $E$ s’appelle la partie entière de la fraction $R$ , tandis que la fraction $frac{R_1}{Q}$ s’appelle la partie polaire. La partie polaire est donc toujours telle que le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.

Notons que si, $deg(P)lt deg(Q)$ , la partie entière de $R=frac{P}{Q}$ est nulle.

Exemple : $R=frac{X^4}{X^2-3X+2} =$ . . . $X^2 + 3 X + 7 + frac{15X-14}{X^2-3X+2}$

Décomposition de la partie polaire sur $mathbb {C}$

Nous allons travailler sur des exemples à partir desquels nous admettrons le résultat général.

Exemple n°1 :

Soit, $R = frac{15X-14}{X^2-3X+2}=frac{15X-14}{(X-1)(X-2)$

Nous avons ici deux pôles simples. Montrons qu’il existe deux réels $a$ et $b$ tels que : $frac{15X-14}{(X-1)(X-2)}=frac{a}{X-1}+frac{b}{X-2}$

Méthode 1 : On réduit au même dénominateur et on identifié les numérateurs :

$15$ $X$ $-14=$ $a(X-2)+b(X-1)$ $Leftrightarrow$ $a+b=15$ et $-2a-b=-14$ . . .

Méthode 2 : dite méthode du « cache » (méthode astucieuse et rapide)

pour avoir $a$ , je multiplie des deux côtés par $(X-1)$ puis je remplace $X$ par $1$ : $frac{15-14}{-1}=a$
pour avoir $b$ , je multiplie des deux côtés par $(X-2)$ puis je remplace par $2$ : $frac{30-14}{1}=b$ .

Finalement, nous obtenons la décomposition de $R$ en deux éléments simples :

$R=frac{15X-14}{(X-1)(X-2)}=frac{-1}{X-1}+frac{16}{X-2}$

Exemple n°2 :

Soit $R=frac{X+3}{(X-1)^2(X+1)$

Ici, nous avons un pôle double et un pôle simple : il faudra prévoir deux éléments simples pour le pôle double et un pour le pôle simple. Montrons qu’il existe trois réels $a$ , $b$ , $c$ tels que :

$frac{X+3}{(X-1)^2(X+1)}=frac{a}{X-1}+frac{b}{(X-1)^2}+frac{c}{X+1}$

On obtient facilement $b$ et $c$ par la méthode du cache. Pour $a$ , on pourra remplacer $X$ par 0 :

$times(X-1)$ et $X=-1$ donne $1/2 =c$
$times(X-1)^2$ et $X=1$ donne $2=b$
$X=0$ donne $3=-a+b+c$ , d’où $a=-1/2$

Finalement, nous obtenons la décomposition de $R$ en trois éléments simples :

$frac{X+3}{(X-1)^2(X+1)}=frac{-1}{2(X-1)}+frac{2}{(X-1)^2}+frac{1}{2(X+1)}$

Résultat général :

Soit $R=frac{P}{Q}$ avec $deg(P)<deg(Q)$ . Puisqu’on travaille sur $mathbb {C}$ , le dénominateur se décompose en facteurs du premier degré :

Formule 1

On démontre alors que l’on peut décomposer $R$ , de façon unique, sous la forme :

$R=frac {P} {{(X-{a}_{1})}^{{alpha }_{1}}...{(X-{a}_{p})}^{{alpha }_{p}}}=sum ^{p}_{k=1} left [ {frac {{a}_{{k}_{1}}} {(X-{a}_{k})}+frac {{a}_{{k}_{2}}} {{(X-{a}_{k})}^{2}}+...+frac {{{a}_{k}}_{{alpha }_{k}}} {{(X-{a}_{k})}^{{alpha }_{k}}}} right ]$

il suffit donc de retenir que chaque pôle $a$ d’ordre $alpha$ se décompose en la somme de $alpha$ éléments simples de la forme $frac{b_j}{(X-a)^j$ ( $j=1$ . . . $alpha$ ). Le nombre total d’éléments simples est donc égal au degré du dénominateur.

Exemple n°3 :

Le résultat précédent permet d’écrire la décomposition suivante :

$frac{X_^5+2}{(X-1)^3(X+1)(X+2)^2}=frac{a}{(X-1)}+frac{b}{(X-1)^2}+frac{c}{(X-1)^3}+frac{d}{(X+1)}+frac{e}{(X+2)}+frac{f}{(X+2)^2$ Il y a donc 6 coefficients à déterminer, dont $3$ ( $c$ , $d$ , $f$ ) sont immédiats (méthode du cache).

Décomposition des éléments simples sur $mathbb {R}$

Nous considérons ici des fractions rationnelles réelles, que nous voudrions décomposer en éléments simples réels. La situation est un peu plus compliquée du fait que le dénominateur $Q$ se décompose en produit de facteurs du premier et du second degré (à discriminant négatif). Rien ne nous empêche cependant de faire (dans un premier temps) une décomposition sur $mathbb {C}$ .

Exemple :

Soit, $R=frac{X+1}{(X^2+1)(X^2+X+1)}$

Plutôt que de commencer par faire une décomposition sur $mathbb {C}$ (qui introduit des calculs un peu plus compliqués avec des nombres complexes), utilisons notre expérience qui permet de donner une décomposition à priori de la forme :

$R=frac{X+1}{(X^2+1)(X^2+X+1)}=frac{aX+b}{X^2+1}+frac{cX+d}{X^2+X+1}$

Avec $a$ , $b$ , $c$ , $d$ réels à déterminer. L’essentiel est dit. Il ne reste plus qu’à calculer. La méthode du cache n’est ici pas très efficace car elle oblige à calculer en nombre complexes. Préférons-lui une méthode d’identification : je réduis au même dénominateur et j’identifie les numérateurs :

$X+1=(aX+b)(X^2+X+1)+(cX+d)(X^2+1)$

Formule 2

D’où $a=-1$ ; $b=1$ ; $c=1$ ; $d=0$ donc $frac{X+1}{(X^2+1)(X^2+X+1)}=frac{-X+1}{X^2+1}+frac{X}{X^2+X+1}$

Décomposition en éléments simples (DES) sur $mathbb {R}$

Du paragraphe précédent, nous retenons que pour une fraction rationnelle réelle, le dénominateur se décompose en facteurs de degré 1 ou 2.

Un pôle réel d’ordre $alpha$ donne $alpha$ éléments simples de la forme $frac{a_k}{(X-a)^k}$ (avec $k=1$ , $.$ $.$ $.$ , $alpha$ ).
Un facteur du second degré et d’ordre $beta$ donne $beta$ éléments simples de la forme $frac{b_kX+c_k}{(X^2+pX+q)^k$ (avec $k=1$ , …, $beta$ ).

L’essentiel est dit, mais puisqu’il faut bien donner un théorème général, le voici, bien plus indigeste en apparence qu’en réalité, si du moins vous avez digéré ce qui précède :

Théorème (DES sur $mathbb {R}$ d’une fraction rationnelle réelle) :

Soit $R=frac{P}{Q}$ avec

On a donc $R$ divisé en trois parties additionnés :

partie entière, obtenue par division euclidienne ( $E$ )

pôles réels (première somme)

pôles complexes conjugués (deuxième somme) tel que :

$R=E+sum ^{p}_{i=1} left [ {frac {{a}_{i1}} {(X-{a}_{i})}+frac {{a}_{i2}} {{(X-{a}_{i})}^{2}}+...+frac {{a}_{{ialpha }_{i}}} {{(X-{a}_{i})}^{{alpha }_{i}}}} right ]+sum ^{q}_{j=1} left [ {frac {{b}_{j1}X+{c}_{j1}} {({X}^{2}+{p}_{j}X+{q}_{j})}+...+frac {{b}_{{jbeta }_{j}}X+{c}_{{jbeta }_{j}}} {{({X}^{2}+{p}_{j}X+{q}_{j})}^{{beta }_{j}}}} right ]$