Les fractions rationnelles

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Qui suis-je ?

Je suis Rémi Fonvieille, ex-étudiant en Licence EEA, je me suis tout naturellement dirigé vers un Master Robotique. Je suis moi-même passé par ces moments de recherche d’information sans réels trouvaille. C’est pour cela que j’ai fais ce travail pour vous !


Partie entière et partie polaire

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Fractions rationnelles

De même qu’une fraction (ou nombre rationnelr=frac{p}{q} in  mathbb{Q}  est un quotient de deux entiers de mathbb {Z}  (avec q neq  0), une fraction rationnelle est un quotient R=frac{P}{Q} de deux polynômes, (avec Q neq  0). 

Une racine a (d’ordre alpha) du dénominateur Q s’appelle pôle (d’ordre alpha) de la fraction R=frac{P}{Q}

Exemple : La fraction R=frac{X+3}{X^3+X^2-X-1} = frac{X+3}{(X+1)^2(X-1)}

possède deux pôles : le pôle double a=-1 et le pôle simple a=1. On peut lui associer la fonction rationnelle de mathbb {R}  vers mathbb {R}  donnée par xmapsto R(x) = frac{x+3}{(x+1)^2(x-1)} dont le domaine de définition est mathbb {R}  -left { -1,1 right }

Nous supposerons toujours dans la suite que les fractions rationnelles sont irréductibles, c’est à dire que le numérateur et le dénominateur n’ont aucune racine commune (si a est racine commune, alors on peut diviser haut et bas par (X-a)

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Partie entière et partie polaire

Considérons le nombre rationnel r=frac{31}{9}. La division euclidienne du numérateur 31 par le dénominateur 9, (31 = 9 x 3 + 4) permet d’obtenir la partie entière de la fraction r (c’est à dire le plus grand entier inférieur ou égal à r) : r = frac{31}{9}=frac{9times3+4}{9}=3+frac{4}{9} écriture dans laquelle 3 est la partie entière et frac{4}{9} la partie fractionnaire de la fraction frac{31}{9}.

De manière analogue, soit R=frac{P}{Q} une fraction rationnelle. Si degleft ( P right ) geq degleft(Qright ), on fait la division euclidienne de P par Q : P=Q E + R_1, avec R_1=0 ou degleft ( R_1 right )lt degleft ( Qright ), d’où R=frac{P}{Q}=frac{QE+R_1}{Q}=E+frac{R_1}{Q}

Le polynôme E s’appelle la partie entière de la fraction R, tandis que la fractionfrac{R_1}{Q} s’appelle la partie polaire. La partie polaire est donc toujours telle que le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur. 

Notons que si, deg(P)lt deg(Q), la partie entière de R=frac{P}{Q} est nulle. 

ExempleR=frac{X^4}{X^2-3X+2} = . . . X^2 + 3 X + 7 + frac{15X-14}{X^2-3X+2}

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Décomposition de la partie polaire sur mathbb {C}

Nous allons travailler sur des exemples à partir desquels nous admettrons le résultat général. 

Exemple n°1

Soit, R = frac{15X-14}{X^2-3X+2}=frac{15X-14}{(X-1)(X-2) 

Nous avons ici deux pôles simples. Montrons qu’il existe deux réels a et b tels que : frac{15X-14}{(X-1)(X-2)}=frac{a}{X-1}+frac{b}{X-2}

Méthode 1 : On réduit au même dénominateur et on identifié les numérateurs : 

15 X -14= a(X-2)+b(X-1) Leftrightarrow a+b=15 et -2a-b=-14 . . . 

Méthode 2 : dite méthode du « cache » (méthode astucieuse et rapide) 

  • pour avoir a, je multiplie des deux côtés par (X-1) puis je remplace X par 1 : frac{15-14}{-1}=a
  • pour avoir b, je multiplie des deux côtés par (X-2) puis je remplace par 2 : frac{30-14}{1}=b

Finalement, nous obtenons la décomposition de R en deux éléments simples : 

R=frac{15X-14}{(X-1)(X-2)}=frac{-1}{X-1}+frac{16}{X-2}

Exemple n°2 :

Soit R=frac{X+3}{(X-1)^2(X+1)

Ici, nous avons un pôle double et un pôle simple : il faudra prévoir deux éléments simples pour le pôle double et un pour le pôle simple. Montrons qu’il existe trois réels abc tels que : 

frac{X+3}{(X-1)^2(X+1)}=frac{a}{X-1}+frac{b}{(X-1)^2}+frac{c}{X+1}

On obtient facilement b et c par la méthode du cache. Pour a, on pourra remplacer X par 0 : 

  • times(X-1) et X=-1 donne 1/2 =c
  • times(X-1)^2 et X=1 donne 2=b
  • X=0 donne 3=-a+b+c, d’où a=-1/2

Finalement, nous obtenons la décomposition de R en trois éléments simples : 

frac{X+3}{(X-1)^2(X+1)}=frac{-1}{2(X-1)}+frac{2}{(X-1)^2}+frac{1}{2(X+1)}

Résultat général

Soit R=frac{P}{Q} avec deg(P)<deg(Q). Puisqu’on travaille sur mathbb {C} , le dénominateur se décompose en facteurs du premier degré : 

Formule 1

On démontre alors que l’on peut décomposer R, de façon unique, sous la forme : 

il suffit donc de retenir que chaque pôle a d’ordre alphase décompose en la somme de alpha éléments simples de la forme frac{b_j}{(X-a)^j    (j=1 . . . alpha). Le nombre total d’éléments simples est donc égal au degré du dénominateur. 

Exemple n°3

Le résultat précédent permet d’écrire la décomposition suivante : 

frac{X_^5+2}{(X-1)^3(X+1)(X+2)^2}=frac{a}{(X-1)}+frac{b}{(X-1)^2}+frac{c}{(X-1)^3}+frac{d}{(X+1)}+frac{e}{(X+2)}+frac{f}{(X+2)^2 Il y a donc 6 coefficients à déterminer, dont 3 (cdf) sont immédiats (méthode du cache). 

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Décomposition des éléments simples sur mathbb {R}

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Nous considérons ici des fractions rationnelles réelles, que nous voudrions décomposer en éléments simples réels. La situation est un peu plus compliquée du fait que le dénominateur Q se décompose en produit de facteurs du premier et du second degré (à discriminant négatif). Rien ne nous empêche cependant de faire (dans un premier temps) une décomposition sur mathbb {C}

Exemple :

Soit, R=frac{X+1}{(X^2+1)(X^2+X+1)} 

Plutôt que de commencer par faire une décomposition sur mathbb {C}  (qui introduit des calculs un peu plus compliqués avec des nombres complexes), utilisons notre expérience qui permet de donner une décomposition à priori de la forme : 

R=frac{X+1}{(X^2+1)(X^2+X+1)}=frac{aX+b}{X^2+1}+frac{cX+d}{X^2+X+1}

Avec abcd réels à déterminer. L’essentiel est dit. Il ne reste plus qu’à calculer. La méthode du cache n’est ici pas très efficace car elle oblige à calculer en nombre complexes. Préférons-lui une méthode d’identification : je réduis au même dénominateur et j’identifie les numérateurs :

X+1=(aX+b)(X^2+X+1)+(cX+d)(X^2+1)

Formule 2

D’où a=-1 ; b=1 ; c=1 ; d=0 donc frac{X+1}{(X^2+1)(X^2+X+1)}=frac{-X+1}{X^2+1}+frac{X}{X^2+X+1}

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Décomposition en éléments simples (DES) sur mathbb {R}

Du paragraphe précédent, nous retenons que pour une fraction rationnelle réelle, le dénominateur se décompose en facteurs de degré 1 ou 2. 

  • Un pôle réel d’ordre alpha donne alpha éléments simples de la forme frac{a_k}{(X-a)^k} (avec k=1. . .alpha). 
  • Un facteur du second degré et d’ordre beta donne beta éléments simples de la forme frac{b_kX+c_k}{(X^2+pX+q)^k  (avec k=1, …, beta). 

L’essentiel est dit, mais puisqu’il faut bien donner un théorème général, le voici, bien plus indigeste en apparence qu’en réalité, si du moins vous avez digéré ce qui précède : 

Théorème (DES sur mathbb {R}  d’une fraction rationnelle réelle) :

Soit R=frac{P}{Q} avec

Formule 3

On a donc R divisé en trois parties additionnés :

  • partie entière, obtenue par division euclidienne (E)
  • pôles réels (première somme)
  • pôles complexes conjugués (deuxième somme) tel que :

Exemple

R=frac{X^8+2}{(X+1)(X-1)^2(X^2+2X+2)^2} se décompose sous la forme : 

E+frac{a}{X+1}+frac{b}{X-1}+frac{c}{(X-1)^2}+frac{dX+e}{X^2+2X+2}+frac{fX+g}{(X^2+2X+2)^2

Avec E, partie entière, polynôme de degré 8-7=1.

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