Les nombres complexes

Qui suis-je ?

Je suis Rémi Fonvieille, ex-étudiant en Licence EEA, je me suis tout naturellement dirigé vers un Master Robotique. Je suis moi-même passé par ces moments de recherche d’information sans réels trouvaille. C’est pour cela que j’ai fais ce travail pour vous !

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Définition de l’ensemble $mathbb {C}$ des nombres complexes

Introduction

Il est bien connu que le carré $x^2$ de tout nombre réel $x$ est un nombre réel positif. Donc les réels strictement négatif n’ont pas de racine carrée réelle. Par exemple :

Il n’existe pas de réel $a$ tel que $a^2=-1$ ;
L’équation $x^2+x+1=0$ n’a pas de racine réelle (car $Delta =-3$ n’a pas de racine carrée réelle).

Cette situation, et quelques autres, a amené les mathématiciens à introduire un nombre noté $i$ ( $i$ comme imaginaire !) tel que $i^2=-1$ . Notez bien que $i$ ne peut pas être un nombre réel : nous venons de créer un monde imaginaire, mais qui aura des applications bien réelles !

Ensemble $mathbb {C}$ des nombres complexes

Définition :

Soit $i$ un nombre tel que $i^2=-1$ .

– On appelle nombre complexe tout nombre $z$ de la forme $z=a+ib$ , où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

– On note $mathbb {C}$ l’ensemble des nombres complexes : $mathbb {C}$ $= left { a+ib/a$ , $b$ $in$ $mathbb {R}$ $}$ .

• Pour le complexe $z=a+ib$ , $a$ s’appelle la partie réelle de $z$ et $b$ sa partie imaginaire.
On note $a=Re(z)$ et $b=Im(z)$ .

• Si $Im(z)=0$ , le nombre complexe $z$ s’écrit $z=a$ et est en fait un nombre réel :
les réels sont des cas particuliers de complexes : $mathbb {R}$ $subset$ $mathbb {C}$ .

• Si $Re(z)=0$ , le nombre complexe $z$ s’écrit $z=ib$ et on dit que le complexe $z$ est imaginaire pur.

Lois sur l’ensemble $mathbb {C}$

On va définir sur l’ensemble $mathbb {C}$ une addition et une multiplication. Soit $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ deux complexes : on les addition et on les multiplie de manière « très naturelle » (pour le produit, on utilise $i^2=-1$ ) ;

$z+z'=(a+ib)+(a'+ib')=(a+a')+i(b+b')$

$zz'=(a+ib)(a'+ib')=aa'+iba'+iab'+i^2bb'=(aa'-bb')+i(ab'+ba')$

On admettra alors que l’on peut calculer dans $mathbb {C}$ exactement comme dans $mathbb {R}$ , simplement en remplaçant $i^2$ par $-1$ chaque fois qu’on le rencontrera.

Exemple : $(2+3i)(4-2i)=8-(-6)+(-4+12)i=14+8i$

Identification : si deux complexes sont égaux : $a+ib=c+id$ , alors on peut identifier les parties réelles et imaginaires : $a=c$ et $b=d$ (en effet, si on avait $bneq d$ , alors de $a-c=i(d-b)$ on tirerait $i=frac{a-c}{d-b}$ donc $i$ serait réel, ce qui est absurde).

Application : pour mettre un quotient $frac{z}{z'}$ , de deux complexes sous sa forme naturelle $X+iY$ , on multiplie haut et bas par le conjugué ${bar {z}}$ $'$ du dénominateur.

Exemple : $frac{3+2i}{2-i}=frac{(3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=frac{4}{5}+frac{7}{5}i$

Représentation géométrique – Forme trigonométrique

Représentation géométrique : images et affixes

Vous avez compris que la donnée d’un nombre complexe $z=x+iy$ revenait à la donnée d’un couple ( $x$ , $y$ ) de nombre réels. Or, il existe une façon classique de représenter un couple de réels : par le point du plan de coordonnées ( $x$ , $y$ ).

Dans le plan rapporté à un r.o.n.d ( $O$ , $underset{i}{rightarrow}$ , $underset{j}{rightarrow}$ ), on associe au complexe $z=x+iy$ le point $M$ ( $x$ , $y$ ) (ou le vecteur V = $underset{OM(z)}{rightarrow}$ = $x$ $underset{i}{rightarrow}$ + $underset{y}{rightarrow}$ ) de coordonnée $x$ et $y$ . On introduit alors le vocabulaire suivant :

Le complexe $z$ est l’affixe du point $M$ (ou du vecteur $underset{OM}{rightarrow}$ ) ;
Le point $M$ (ou le vecteur $underset{OM}{rightarrow}$ ) est l‘image du complexe $z$ .

On pourra noter $M( z )$ ou $underset{OM(z)}{rightarrow}$ .

Vous voyez alors que si $underset{U}{rightarrow}$ et $underset{V}{rightarrow}$ sont les vecteurs d’affixe respective $u$ et $v$ , alors leur combinaison linéaire $underset{W}{rightarrow}$ = $alpha$ $underset{U}{rightarrow}$ + $beta$ $underset{V}{rightarrow}$ est le vecteur d’affixe $w=alpha u+beta v$ .

Module et argument

Le dessin du vecteur $underset{OM}{rightarrow}$ $z=x+iy$

Module du complexe $z$ à la longueur $OM = left | left | underset{OM}{rightarrow} right | right |= sqrt{x^2+y^2}$ , notée $left | z right |$ ;
Argument de $z$ toute mesure $theta$ de l’angle $(i$ , $underset{OM}{rightarrow}$ ), notée $arg(z)$ .

On note $arg(z)=theta$ $(2pi)$ , qui se lit « l’argument de $z$ est égal à $theta$ modulo 2π« , ce qui rappelle qu’une mesure d’angle est définie à $2pi$ près.

Exemples :

$z=1+i$ donne $left | 1+i right |=sqrt{2}$ et $arg(1+i)=pi4$ ;
$z=i$ donne $left | i right |=1$ et $arg(i)=pi/2$ ; $z=-2$ donne $left |-2right |=2$ et $arg(-2)=pi$ ;

Remarque : Un argument est donc défini à $2pi$ près. On devrait donc écrire, par exemple : $arg(1+i)=pi/4+2kpi$ (avec $k$ $in$ $mathbb {Z}$ entier relatif). En pratique, on ne le fait pas et on choisit la mesure de l’angle dans $[0,2pi$ $[$ $($ ou $]$ $-pi$ , $pi$ $]$ $)$ .

Ceci dit il n’est pas interdit d’écrire : $arg(1+i)=pi/4$ ou $arg(1+i)=9pi/4$ ou encore 4 (notez bien que ces trois mesures d’angle donnent bien le même point sur le cercle trigonométrique).

Forme trigonométrique

La contemplation du vecteur $underset{OM}{rightarrow}$ d’affixe $z=x+iy$ nous fournit immédiatement le lien entre les coordonnées $(x$ , $y)$ d’une part et le module et l’argument $r=left | z right |$ et $theta=arg(z)$ d’autre part : $x=r$ $cos$ $theta$ et $y=r$ $sin$ $theta$ . On peut donc écrire indifféremment : $z=x+iy$ ou $z=r$ $(cos$ $theta$ + $i$ $sin$ $theta$ $)$ . Nous disposons donc des deux écritures :

$z=x+iy$ , écriture dite algébrique,
$z=r$ $(cos$ $theta$ + $i$ $sin$ $theta$ $)$ , écriture dite trigonométrique.

Exemple :

$1+i=sqrt{2}$ $($ $frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}i$ ) $)$ $=sqrt{2}$ $($ $cos(pi/4)+i$ $sin(pi/4)$ $)$
$-3=3(-1+0i)=3$ $($ $cos(pi)$ $+$ $i$ $sin(pi)$ $)$
$sqrt{3}-i=2$ $($ $frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}i$ $)$ $=sqrt{2}$ $($ $cos(-pi/6)+i$ $sin(-pi/6)$ $)$

Module et argument d’un produit

La forme trigonométrique est très bien adaptée au produit et quotient des complexes. En effet soit $z$ de module $r$ et d’argument $theta$ et $z'$ de module $r'$ et d’argument $theta'$ , c’est à dire :

$z=r(cos$ $theta$ $+i$ $sin$ $theta$ $)$ et $z'=r'(cos$ $theta'$ $+i$ $sin$ $theta'$ $)$

Calculons le produit $zz'$ ainsi que l’inverse $frac{1}{z}$ :

$zz'=r(cos$ $theta$ $+i$ $sin$ $theta$ $)$ $times$ $r'(cos$ $theta'$ $+i$ $sin$ $theta')$ $=rr'$ $($ $cos$ $theta$ $cos$ $theta'$ $-sin$ $theta$ $sin$ $theta'$ $+i$ $(sin$ $theta$ $cos$ $theta'$ $+cos$ $theta$ $sin$ $theta')$ $)$

d’où $zz'=rr'(cos(theta+theta')+i$ $sin(theta+theta')$ $)$ : le module de $zz'$ est $rr'$ et un argument de $zz'$ est $theta+theta'$ .

2. $frac{1}{z}=frac{1}{r(costheta+isintheta)}=frac{costheta-isintheta}{r(costheta+isintheta)(costheta-isintheta)}=frac{1}{r}frac{costheta-isintheta}{cos^2theta+sin^2theta}$

d’où $frac{1}{z}=frac{1}{r}(cos(-theta)+i$ $sin (-theta))$ : le module de $frac{1}{z}$ est $frac{1}{r}$ et un argument est $-theta.$

Résumons car c’est important :

Le module d’un produit (resp. quotient) est le produit (resp. quotient) des modules ;
l’argument d’un produit (resp. quotient) est la somme (resp. quotient) des arguments.

ou si vous préférez :

$left | frac{z}{z'} right |=left | frac{z}{z'} right |$ ; $arg(frac{z}{z'})=arg(z)-arg(z')+2kpi$

Notation exponentielle

Posons $f(theta) = cos$ $theta$ $+$ $i$ $sin$ $theta$ . Le paragraphe précédent nous a montré que :

$f(theta)f(theta')=f(theta+theta')$

Vous reconnaissez peut-être là une propriété de la fonction exponentielle (l’exponentielle d’une somme est égale au produit des exponentielles). Cette remarque a inspiré le grand mathématicien Euler qui a décidé de poser, par définition : $e^{itheta}=cos$ $theta$ $+$ $i$ $sin$ $theta$ .

Comme nous allons le voir, cette notation est particulièrement judicieuse.

Définition

On introduit la notation $e^{itheta}=cos$ $theta$ $+$ $i$ $sin$ $theta$ . Donc :

– Le complexe $e^{itheta}$ est le complexe de module 1 et d’argument $theta$ .

– Le point $M(e^{itheta})$ est le point du cercle trigonométrique tel que $(underset{i}{rightarrow}$ , $underset{OM}{rightarrow})$ $=theta+2kpi$

– Exemple : $e^{ipi/2}=i$ ; $e^{ipi}=-1$ ; $e^{2ipi}=1$

Le complexe $z=r$ $(cos$ $theta$ $+i$ $sin$ $theta$ $)$ peut donc aussi s’écrire $z=r$ $e^{itheta}$ et les formules du produit et du quotient deviennent, tout simplement :

$r$ $e^{itheta}times r'$ $e^{itheta'}$ $= rr'$ $e^{i(theta+theta')}$ et $frac{re^{itheta}}{r'e^{itheta'}}=frac{r}{r'}e^{i(theta-theta')}$

Formules d’Euler et de De Moivre

Formules d'Euler et de De Moivre

$(e^{itheta})^n=e^{intheta}$ d’où $(costheta+isintheta)^n=cosntheta+isinntheta$ ( $n$ $in$ $mathbb {Z}$ )

Ces formules sont utiles pour linéariser une puissance de cosinus ou de sinus.

La fonction $tmapsto e^{at}$ , $(t$ $in$ $mathbb {R}$ , $a$ $in$ $mathbb {C}$ $)$

Cette fonction de $mathbb {R}$ vers $mathbb {C}$ , est très prisée des physiciens car elle modélise les sinusoïdes amorties que l’on trouve dans des phénomènes vibratoires très simples (régimes pseudo-périodiques des pendules amortis en mécanique ou des circuits RLC en électronique). Nous allons montrer que cette exponentielle complexe se dérive et s’intègre exactement comme une exponentielle réelle.

Soit donc $f(t)=e^{at}$ , avec $t$ $in$ $mathbb {R}$ et $a=alpha+ibeta$ $in$ $mathbb {C}$ .

Nous avons $f(t)=e^{at}=e^{(alpha+ibeta)t} =e^{at}(cosbeta t+isinbeta t)$ d’où

$f'(t)=alpha e^{at}(cos$ $beta t+i$ $sin$ $beta t)$ $+ e^{at}(-beta$ $sin$ $beta t+ibeta$ $cos$ $beta t)$ $=e^{at}(alpha+ibeta)$ $(cos$ $beta t+i$ $sin$ $beta t)$

On constate donc que $(e^{at})^'$ $= a$ $e^{at}$ , ce qui est la même formule que pour $a$ réel. Ensuite la dérivée de $frac{1}{a}e^{at}$ est $e^{at}$ de sorte que $frac{1}{a}e^{at}$ est une primitive de $e^{at}$ .