Définition de l’ensemble
des nombres complexes
.
Introduction
Il est bien connu que le carré de tout nombre réel
est un nombre réel positif. Donc les réels strictement négatif n’ont pas de racine carrée réelle. Par exemple :
- Il n’existe pas de réel
tel que
;
- L’équation
n’a pas de racine réelle (car
n’a pas de racine carrée réelle).
Cette situation, et quelques autres, a amené les mathématiciens à introduire un nombre noté (
comme imaginaire !) tel que
. Notez bien que
ne peut pas être un nombre réel : nous venons de créer un monde imaginaire, mais qui aura des applications bien réelles !
.
Ensemble
des nombres complexes
Définition :
Soit
un nombre tel que
.
– On appelle nombre complexe tout nombre
de la forme
, où
et
sont des nombres réels.
– On note
l’ensemble des nombres complexes :
![]()
,
![]()
![]()
.
• Pour le complexe
,
s’appelle la partie réelle de
et
sa partie imaginaire.
On noteet
.
• Si
, le nombre complexe
s’écrit
et est en fait un nombre réel :
les réels sont des cas particuliers de complexes :![]()
![]()
.
• Si
, le nombre complexe
s’écrit
et on dit que le complexe
est imaginaire pur.
.
Lois sur l’ensemble 
.
On va définir sur l’ensemble une addition et une multiplication. Soit
et
deux complexes : on les addition et on les multiplie de manière « très naturelle » (pour le produit, on utilise
) ;
On admettra alors que l’on peut calculer dans exactement comme dans
, simplement en remplaçant
par
chaque fois qu’on le rencontrera.
Exemple :
Identification : si deux complexes sont égaux : , alors on peut identifier les parties réelles et imaginaires :
et
(en effet, si on avait
, alors de
on tirerait
donc
serait réel, ce qui est absurde).
Application : pour mettre un quotient , de deux complexes sous sa forme naturelle
, on multiplie haut et bas par le conjugué
du dénominateur.
Exemple :
.
Représentation géométrique – Forme trigonométrique
.
Représentation géométrique : images et affixes
Vous avez compris que la donnée d’un nombre complexe revenait à la donnée d’un couple (
,
) de nombre réels. Or, il existe une façon classique de représenter un couple de réels : par le point du plan de coordonnées (
,
).
Dans le plan rapporté à un r.o.n.d (,
,
), on associe au complexe
le point
(
,
) (ou le vecteur V =
=
+
) de coordonnée
et
. On introduit alors le vocabulaire suivant :
- Le complexe
est l’affixe du point
(ou du vecteur
) ;
- Le point
(ou le vecteur
) est l‘image du complexe
.
On pourra noter ou
.
Vous voyez alors que si et
sont les vecteurs d’affixe respective
et
, alors leur combinaison linéaire
=
+
est le vecteur d’affixe
.
.
Module et argument
Le dessin du vecteur d’affixe
nous donne une autre représentation du nombre complexe
. Appelons :
- Module du complexe
à la longueur
, notée
;
- Argument de
toute mesure
de l’angle
,
), notée
.
On note
, qui se lit « l’argument de
est égal à
modulo 2π« , ce qui rappelle qu’une mesure d’angle est définie à
près.
Exemples :
donne
et
;
donne
et
;
donne
et
;
Remarque : Un argument est donc défini à près. On devrait donc écrire, par exemple :
(avec
entier relatif). En pratique, on ne le fait pas et on choisit la mesure de l’angle dans
ou
,
.
Ceci dit il n’est pas interdit d’écrire : ou
ou encore 4 (notez bien que ces trois mesures d’angle donnent bien le même point sur le cercle trigonométrique).
.
Forme trigonométrique
La contemplation du vecteur d’affixe
nous fournit immédiatement le lien entre les coordonnées
,
d’une part et le module et l’argument
et
d’autre part :
et
. On peut donc écrire indifféremment :
ou
+
. Nous disposons donc des deux écritures :
, écriture dite algébrique,
+
, écriture dite trigonométrique.
Exemple :
-
)
-
-
.
Module et argument d’un produit
La forme trigonométrique est très bien adaptée au produit et quotient des complexes. En effet soit de module
et d’argument
et
de module
et d’argument
, c’est à dire :
et
Calculons le produit ainsi que l’inverse
:
d’où
: le module de
est
et un argument de
est
.
2.
d’où
: le module de
est
et un argument est
Résumons car c’est important :
- Le module d’un produit (resp. quotient) est le produit (resp. quotient) des modules ;
- l’argument d’un produit (resp. quotient) est la somme (resp. quotient) des arguments.
ou si vous préférez :
;
;
.
Notation exponentielle
Posons
. Le paragraphe précédent nous a montré que :
Vous reconnaissez peut-être là une propriété de la fonction exponentielle (l’exponentielle d’une somme est égale au produit des exponentielles). Cette remarque a inspiré le grand mathématicien Euler qui a décidé de poser, par définition :
.
Comme nous allons le voir, cette notation est particulièrement judicieuse.
.
Définition
On introduit la notation
. Donc :
– Le complexe est le complexe de module 1 et d’argument
.
– Le point est le point du cercle trigonométrique tel que
,
– Exemple : ;
;
Le complexe
peut donc aussi s’écrire
et les formules du produit et du quotient deviennent, tout simplement :
et
.
Formules d’Euler et de De Moivre
d’où
(
)
Ces formules sont utiles pour linéariser une puissance de cosinus ou de sinus.
.
La fonction
,
,

)
Cette fonction de vers
, est très prisée des physiciens car elle modélise les sinusoïdes amorties que l’on trouve dans des phénomènes vibratoires très simples (régimes pseudo-périodiques des pendules amortis en mécanique ou des circuits RLC en électronique). Nous allons montrer que cette exponentielle complexe se dérive et s’intègre exactement comme une exponentielle réelle.
Soit donc , avec
et
.
Nous avons d’où
On constate donc que
, ce qui est la même formule que pour
réel. Ensuite la dérivée de
est
de sorte que
est une primitive de
.
Retenons qu’il n’y a rien à retenir ! :
0 commentaires