Les polynômes

Qui suis-je ?

Je suis Rémi Fonvieille, ex-étudiant en Licence EEA, je me suis tout naturellement dirigé vers un Master Robotique. Je suis moi-même passé par ces moments de recherche d’information sans réels trouvaille. C’est pour cela que j’ai fais ce travail pour vous !

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Polynômes : définitions, opérations

Expressions polynomiales

On appelle expression polynomiale une expression de la forme

$P(x)={a}_{n}{x}^{n}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}+...+{a}_{1}x+{a}_{0}=\sum ^{n}_{k=0} {{a}_{k}}{x}^{k}$

dans laquelle les coefficients $a_n$ et la variable $x$ sont dans ℝ (ou dans ℂ).

Il est clair que la somme et le produit de deux expressions polynomiales est encore une expression polynomiale.

Exemple : Voici deux expressions polynomiales : $P(x)=x^3+2x^2-x+1$ et $Q(x)=x^2+x+1$ . Leur somme et leur produit sont :

$P(x)+Q(x)=(x^3+2x^2-x+1)+(x^2+x+1)=x^3+3x^2+2$

$P(x)Q(x)=(x^3+2x^2-x+1)(x^2+x+1)=x^5+3x^4+2x^3+2x^2+1$

Polynômes

On appelle fonction polynôme (ou polynôme tout court) une fonction $P$ de la forme :

$P\, :\, x\, \to \, P(x)={a}_{n}{x}^{n}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}+...+{a}_{1}x+{a}_{0}$

qui sera donc de ℝ vers ℝ (ou de ℂ vers ℂ), selon que l’expression polynomiale $P(x)$ est à coefficients dans ℝ (ou ℂ).

Le plus grand indice $n$ tel que $a_n$ $\neq$ $0$ s’appelle de degré de $P$ . Et donc le polynôme nul n’a pas de degré (puisqu’il n’a pas de coefficient non nul). Le degré de $P$ (polynôme non nul) se note $deg(P)$ . En particulier : $deg(P)=0$ équivaut à $P=a_0$ constante NON NULLE.

La somme $P+Q$ et le produit $PQ$ de deux polynômes est encore un polynôme :

$P+Q$ : $x$ $\rightarrow$ $(P+Q)(x)=P(x)+Q(x)$ et $PQ$ $:$ $x$ $\rightarrow$ $(PQ)(x)=P(x)Q(x)$ et on voit que $deg(P+Q)\leq max(deg(P),$ $deg(Q))$ et $deg(PQ)=deg(P)+deg(Q)$ .

En particulier si $P$ $\neq$ $0$ et $Q$ $\neq$ $0$ , alors $PQ$ $\neq$ $0$ (puisque $deg(PQ)=deg(P)+deg(Q)$ ). Par contraposition, on en déduit que $PQ$ $=$ $0$ $\Rightarrow$ $P$ $=$ $0$ ou $Q$ $=$ $0$ .

Notation usuelle des polynômes

Il est d’usage, chez les polynômes, de noter $X$ le polynôme particulier $X$ $:$ $x$ $\rightarrow$ $x$ .

Avec cette notation, le polynôme $P$ $=$ $X^2+3X-1$ est tout simplement la fonction $x$ $\rightarrow$ $x^2+3x-1$ car $(X^2+3X-1)(x)=X^2(x)+3X(x)-1(x)=x^2+3x-1$

tandis que le polynôme $Q$ $:$ $x$ $\rightarrow$ $x^3+x-2$ se note $Q=X^3+X-2$ .

Bref, dans le cas général, la fonction

$P\, :\, x\to {a}_{n}{x}^{n}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}+...+{a}_{1}x+{a}_{0}$

se note

$P={a}_{n}{X}^{n}+{a}_{n-1}{X}^{n-1}+...+{a}_{1}X+{a}_{0}$

L’ensemble de tous les polynômes à coefficients réels se note ℝ $[X]$ et tous les polynômes à coefficients complexes se note ℂ $[X]$ . Par exemple, $P=X^2+2X-3$ $\in$ ℝ $[X]$ et $Q=iX^2+(1+i)X+2$ $\in$ ℂ $[X]$ . Cette notation peut aussi s’étendre en $\mathbb{Q}$

Attention de ne pas confondre le polynôme $P=X^2+2X-3$ $\in$ ℝ $[X]$ qui est une FONCTION de ℝ vers ℝ avec l’expression polynomiale $P(x)=x^2+2x-3$ $\in$ ℝ qui est la VALEUR de $P$ en $x$ .

Par exemple, $P(3)=3^2+2\times3-3=12$ est la valeur de $P$ en 3.

L’écriture $P=0$ signifie que $P$ est le polynôme nul (c’est à dire dont les coefficients sont nuls) tandis que $P(x)=0$ est une simple équation (dont on peut chercher les solutions).

Division euclidienne

Vous vous rappelez de la division euclidienne (alias division sans virgule) de votre enfance : soit $a$ et $b$ deux entiers naturels, avec $b$ $\neq$ $0$ . Il existe un couple unique d’entiers $q$ et $r$ tels que :

$a=bq+r$ avec $0\, \leq \, r\, <\, b$

et on dit que $q$ est le quotient et $r$ le reste de la division de $a$ par $b$ .

La division euclidienne de deux polynômes résulte du théorème suivant :

Théorème et définition (Division euclidienne de deux polynômes) :

Soit $A$ et $B$ deux polynômes, avec $B$ $\neq$ $0$ . Il existe un couple unique de polynômes $Q$ et $R$ tels que

$A=BQ+R$ avec $R=0$ ou $deg(R)<deg(B)$

On dit que $Q$ est le quotient et $R$ le reste de la division de $A$ par $B$ .

Si $R=0$ , on a $A=BQ$ et on dit que $A$ est un multiple de $B$ , ou encore que $B$ se factorise dans $A$ (c’est à dire se met en facteur).

Racines

Définition

Soit $P$ un polynôme. On dit que $a$ est racine du polynôme $P$ si $P(a)=0$ . Il revient au même de dire que $a$ est solution (on dit aussi racine) de l’équation $P(x)=0$ , d’inconnue $x$ .

Exemple : $a=1$ est racine « évidente » de $P=X^3-1$ . Faisons alors la division euclidienne de $X^3-1$ par $X-1$ : on trouve $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$ . On dit que $(X-1)$ se factorise dans $X^3-1$ (ce qui signifie que $X-1$ se met en facteur dans $X^3-1$ ).

???? Dans mes fiches de révisions, j’offre des exercices pour bien comprendre cette méthode.

Cette situation est générale :

Théorème :

Le nombre $a$ est racine de $P$ si et seulement si $(X-a)$ se factorise dans $P$ , c’est à dire si et seulement si $P=(X-a)Q$ , avec $Q$ polynôme.

Remarque : A propos des racines « évidente ». Il arrive souvent qu’on cherche des racines entières d’un polynôme à coefficients entiers. Il est alors très utile de savoir qu’une telle racine $r$ doit être un diviseur du terme constant $a_0$ de $P$ . En effet soit $P=a_nX^n+...a_1X+a_0$ un polynôme de $\mathbb {Z}$

$P(r)=0\, \, \Leftrightarrow \, \, {a}_{n}{r}^{n}+...+{a}_{1}r+{a}_{0}=0\, \, \Leftrightarrow \, \, r({a}_{n}{r}^{n-1}+...+{a}_{1})={-a}_{0}$

et la quantité entre parenthèse est un entier, ce qui prouve que $r$ est un diviseur de $a_0$ .

Par exemple, soit $P=X^3+4X^2+5X+6$ . Une racine entière de $P$ doit être un diviseur de 6. Les seules valeurs possibles sont donc ±1, ±2, ±3 et ±6. En cherchant un peu, on trouve que $r=-3$ est racine, d’où la factorisation $P=(X+3)(X^2+X+2)$ .

???? Dans mes fiches de révisions, j’offre des exercices pour bien comprendre cette méthode.

Racines simples, racines multiples

Soit à présent le polynôme $P=X^4-2X^3+2X^2-2X+1$ , $a=1$ est racine d’où la factorisation $P=(X-1)Q=...=(X-1)(X^3-X^2+X-1)$ . Mais $Q=X^3-X^2+X-1$ possède à son tour la racine $1$ , donc $Q=(X-1)Q_1=(X-1)(X^2+1)$ , de sorte que $P=(X-1)(X-1)(X^2+1)=(X-1)^2(X^2+1)$ . Ainsi, on pourrait dire que le polynôme $P$ possède « deux fois » la racine $1$ . On dira que $a=1$ est racine double de $P$ et tout ceci nous inspire une définition :

Définition :

On dit que $a$ est racine d’ordre $k$ de $P$ si $P=(X-a)^kQ$ , c’est à dire si $(X-a)^k$ se factorise dans $P$ .

Remarque : On dit donc « racine d’ordre $k$ » pour « racine d’ordre $k$ au moins ». Sinon, il faut préciser « racine d’ordre $k$ exactement » ce qui se traduit par « $(X-a)^k$ se factorise dans $P$ , mais $(X-a)^{k+1}$ ne se factorise pas, c’est à dire $P=(X-a)^kQ$ avec $Q(a)$ $\neq$ $0$ . L’usage veut cependant que l’on dise « racine simple » pour une racine d’ordre $1$ exactement.

Exemple : Soit, $P=(X-1)^2(X^4-1)$ . On a $P=(X-1)^2(X^2-1)(X^2+1)=(X-1)^3(X+1)(X^2+1)$ de sorte que $1$ est racine triple et $-1$ racine simple dans ℝ. On peut y ajouter les deux racines simples $\pm i$ dans ℂ.

???? Dans mes fiches de révisions, j’offre des exercices pour bien comprendre cette méthode.

Critère de racine multiple

Pour voir que $a$ est racine, c’est facile : il suffit de constater que $P(a)=0$ . Mais pour voir que $a$ est racine multiple, c’est moins direct : on cherche à factoriser $(X-a)^2$ , $(X-a)^3$ , etc…

Il y a en fait une autre façon de procéder : en dérivant le polynôme $P$ . Voyons ça pour une racine double avant d’énoncer un théorème :

$a$ est racine double de $P$ si et seulement si $P=(X-a)^2Q$ . Dérivons : $P'=2(X-a)Q+(X-a)^2Q'$ et donc $P'(a)=0$ . Ainsi :
…………………………………………….. $a$ racine double $\Rightarrow$ $P(a)=P'(a)=0$
Réciproquement, supposons que $P(a)=P'(a)=0$ . Alors $P(a)=0$ donc $P=(X-a)Q$ d’où $P'=(X-a)Q'+Q$ . Mais par hypothèse $P'(a)=0$ donc $Q(a)=0$ donc $X-a$ se factorise dans $Q$ : $Q=(X-a)Q_1$ . On en déduit que $P=(X-a)^2Q_1$ et donc que :
……………………………………………… $P(a)=P'(a)=0$ $\Rightarrow$ $a$ racine double
Finalement, nous avons démontré que :
…………………………. $a$ est racine double de $P$ si et seulement si $P(a)=P'(a)=0$ .
On peut le dire autrement : $a$ est racine double de $P$ si et seulement si $a$ est une racine commune de $P$ et $P'$ . Ce résultat se généralise à une racine d’ordre quelconque :

Théorème :

$a$ est une racine d’ordre $k$ de $P$ si et seulement si $P(a)=P'(a)=...=P^{k-1}(a)=0$

Donc $a$ est racine d’ordre $k$ de $P$ si et seulement si $a$ est une racine commune à $P$ et ses $k-1$ premières dérivées.

Factorisation des polynômes

Racines et factorisation

Soient $a$ , $b$ , $c$ des racines distinctes de $P$ . On a $P(a)=0$ , donc $(X-a)$ se factorise dans $P$ et donc $P=(X-a) P_1$ . Ensuite $P(b) = 0$ , donc $P(b) = (b-a) P_1(b)=0$ . Or $b$ $\neq$ $a$ , donc $P_1(b)=0,$ de sorte que $(X-b)$ se factorise dans $P_1$ et donc $P=(X-a) (X-b) P_2$ . De même, $P(c) = 0$ donc $P_2(c)=0$ et finalement $P = (X-a) (X-b) (X-c) P_3$ .

Plus généralement, on peut montrer, par récurrence, le résultat suivant :

Théorème :

Si $a$ , $b$ , $c$ … sont racines d’ordre $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , … de $P$ , alors le produit $(X-a)^\alpha (X-b)^\beta(X-c)^\gamma$ … se factorise dans $P$ .

Exemple : Supposons que 2 soit racine d’ordre 3, -3 racine d’ordre 2 et -1 racine simple d’un polynôme $P$ . Alors $P$ est la forme $P=(X-2)^3(X+3)^2(X+1)Q$ .

???? Dans mes fiches de révisions, j’offre des exercices pour bien comprendre cette méthode.

Corollaire :

Un polynôme de degré $n$ possède au plus $n$ racines complexes, chacune comptée avec son ordre de multiplicité.

Par exemple, vous savez qu’un polynôme réel de degré 2 peut avoir 0 ou 2 racines réelles (distinctes ou non). Par contre, il m’est agréable de vous annoncer que ce corollaire se simplifie sur $\mathbb {C}$

Factorisation dans $\mathbb {C}$

Nous admettrons le théorème de d’Alembert-Gauss, parfois appelé théorème fondamental de l’algèbre :

Théorème :

Un polynôme de degré $n$ possède exactement $n$ racines dans $\mathbb {C}$ , chacune comptée avec son ordre de multiplicité.

Soit $P$ un polynôme de degré $n$ et soit ( $b_1$ , $b_2$ , …, $b_n$ ) la liste de ses racines, distinctes ou non (c’est à dire une racine triple figurera trois fois dans la liste). On peut écrire :

où $a$ est le coefficient dominant de $P$ (c’est à dire le coefficient de $X^n$ ). En regroupant alors les racines égales dans la liste, on peut aussi décrire $P$ par ses racines distinctes $a_1$ , $...$ $a_p$ , avec $a_i$ racine d’ordre $\alpha_i$ :

avec

Autrement dit, un polynôme se factorise sur $\mathbb {C}$ en un produit de facteurs du premier degré.

Exemples : $P=X^4-2X^3+5X^2-8X+4$ possède la racine “évidente” 1. On factorise $X-1$ : $P=(X-1)(X^3-X^2+4X-4)$ et 1 est encore racine, d’où $P = (X-1) (X-1) (X^2+4)=(X-1)^2(X^2+4)=(X-1)^2(X-2_i)(X+2_i)$

La liste des racines, distinctes ou non, est ( $1$ , $1$ , $-2_i$ , $2_i$ ).

Dans mes fiches de révisions, j’offre des exercices pour bien comprendre cette méthode.

FACTORISATION DANS $\mathbb {R}$

Le théorème de d’Alembert-Gauss ne s’applique évidemment pas à $\mathbb {R}$ : par exemple, $X^2+1$ (ou tout trinôme de discriminant négatif) ne se factorise pas. Nous allons voir que ce cas est – en quelque sorte – le seul. Mais commençons par un exemple :

Prenons l’exemple du polynôme $X^4+1$ :

$P=X^4+1=(X-e^{i\pi/4})(X-e^{i3\pi/4})(X-e^{i5\pi/4})(X-e^{i7\pi/4})$

Remarquons que ses racines complexes sont conjuguées deux à deux. On peut aussi écrire, en mettant côte à côte les racines conjuguées :

$P=X^4+1=(X-e^{i\pi/4})(X-e^{-i\pi/4})(X-e^{i3\pi/4})(X-e^{-i3\pi/4})$

En regroupant alors ces racines et en se rappelant que $cos(x) = \frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})$ :

$X^4+1=(X^2-(e^{i\pi/4}+e^{-i\pi/4})X+1)$ $(X^2-(e^{3i\pi/4}+e^{-3i\pi/4})X+1)$

$X^4+1=(X^2-2cos(\pi/4)X+1)$ $(X^2+2cos(3\pi/4)X+1)$

$X^4+1=(X^2-\sqrt[]{2}X+1)$ $(X^2+\sqrt[]{2}X+1)$

et on a ainsi réussi à factoriser $P$ en le produit de deux facteurs réels irréductibles (discriminants négatifs).

???? Dans mes fiches de révisions, j’offre des exercices pour bien comprendre cette méthode.

Il se trouve que cette situation est générale :

Soit $P$ un polynôme de $\mathbb {R}$ $[X]$ , c’est à dire à coefficients réels, et de degré $n$ . On cherche à le factoriser en un produit de polynômes réels. Commençons donc par le factoriser dans $\mathbb {C}$ : soit ( $d_1$ , …, $d_n$ ) la liste de ses $n$ racines complexes, distinctes ou non avec $a$ $\in$ $\mathbb {R}$ :

Certaines racines peuvent être réelles, les autres étant des complexes non réels. Le remarque fondamentale est alors que :

Si $c$ est une racine non réelle d’un polynôme $P$ $\in$ $\mathbb {R}$ $[X]$ , alors sa conjuguée (noté “ $c$ barre”) est aussi racine.

Prouvons-le : soit $P$ et soit $c$ une racine de $P$ ,

(car le conjugué d’une somme est la somme des conjugués et le conjugué d’un produit est le produite des conjugués).

Or, $P$ est à coefficients réels, donc $a_k$ $\in$ $\mathbb {R}$ , donc $a_k$ est égal à son conjugué (noté $a_k$ “barre”). Donc :

Équivaut à dire que le conjugué de $c$ est racine de $P$ . Ainsi les racines non réelles de $P$ vont par paires : “ $c$ , $c$ barre”. Considérons donc dans la liste ( $d_1$ , …, $d_n$ ) des $n$ racines de $P$ , celles qui sont réelles : ( $b_1$ , $...$ , $b_p$ ) et celles qui sont non réelles et qui vont par paires, disons ( $c_1$ , $c_1$ “barre” ; $c_2$ , $c_2$ “barre” ;… ; $c_s$ , $c_s$ “barre”) :

avec $p+2s=n$ . En développant ensuite chaque produit :

il vient de la décomposition de $P$ en facteurs réels :

Notez bien que chacun des facteurs réels du second degré est irréductible puisque ses racines sont les complexes $c_j$ , $c_j$ “barre”. En regroupant éventuellement les racines multiples, nous avons obtenus le :

Corollaire :

Tout polynôme réel de degré $n$ se factorise en un produit de polynômes réels de degré 1 ou de degré 2 à discriminant négatif :

avec

Exemple : Soit, $P = X^5+X^3-8X^2-8$ . On vérifie que $i$ est racine : $P(i) = i^5+i^3-8i^2-8=i-i+8-8=0$ donc $i$ “barre” est aussi racine. Disposant des deux racines $i$ et $i$ “barre” = $-i$ , on sait que $(X-i)(X+i)=X^2+1$ se factorise dans $P$ :

$P = (X^2+1)(X^3-8)$

Mais, ce n’est pas fini car un polynôme de degré 3 doit se factoriser dans $\mathbb {R}$ $[X]$ . En fait 2 est racine évidente de $(X^3-8)$ ce qui laisse la factorisation :