Polynômes : définitions, opérations
Expressions polynomiales
On appelle expression polynomiale une expression de la forme
dans laquelle les coefficients et la variable
sont dans ℝ (ou dans ℂ).
Il est clair que la somme et le produit de deux expressions polynomiales est encore une expression polynomiale.
Exemple : Voici deux expressions polynomiales : et
. Leur somme et leur produit sont :
Polynômes
On appelle fonction polynôme (ou polynôme tout court) une fonction de la forme :
qui sera donc de ℝ vers ℝ (ou de ℂ vers ℂ), selon que l’expression polynomiale est à coefficients dans ℝ (ou ℂ).
Le plus grand indice tel que
s’appelle de degré de
. Et donc le polynôme nul n’a pas de degré (puisqu’il n’a pas de coefficient non nul). Le degré de
(polynôme non nul) se note
. En particulier :
équivaut à
constante NON NULLE.
La somme et le produit
de deux polynômes est encore un polynôme :
:
et
et on voit que
et
.
En particulier si
et
, alors
(puisque
). Par contraposition, on en déduit que
ou
.
Notation usuelle des polynômes
Il est d’usage, chez les polynômes, de noter le polynôme particulier
.
Avec cette notation, le polynôme
est tout simplement la fonction
car
tandis que le polynôme
se note
.
Bref, dans le cas général, la fonction
se note
L’ensemble de tous les polynômes à coefficients réels se note ℝ et tous les polynômes à coefficients complexes se note ℂ
. Par exemple,
ℝ
et
ℂ
. Cette notation peut aussi s’étendre en
(polynômes à coefficients rationnels) ou
(polynômes àcoefficients entiers).
Attention de ne pas confondre le polynôme
ℝ
qui est une FONCTION de ℝ vers ℝ avec l’expression polynomiale
ℝ qui est la VALEUR de
en
.
Par exemple, est la valeur de
en 3.
L’écriture signifie que
est le polynôme nul (c’est à dire dont les coefficients sont nuls) tandis que
est une simple équation (dont on peut chercher les solutions).
Division euclidienne
Vous vous rappelez de la division euclidienne (alias division sans virgule) de votre enfance : soit et
deux entiers naturels, avec
. Il existe un couple unique d’entiers
et
tels que :
avec
et on dit que est le quotient et
le reste de la division de
par
.
La division euclidienne de deux polynômes résulte du théorème suivant :
Théorème et définition (Division euclidienne de deux polynômes) :
Soit
et
deux polynômes, avec
![]()
![]()
. Il existe un couple unique de polynômes
et
tels que
avec
ou
On dit que
est le quotient et
le reste de la division de
par
.
Si
, on a
et on dit que
est un multiple de
, ou encore que
se factorise dans
(c’est à dire se met en facteur).
Racines
Définition
Soit un polynôme. On dit que
est racine du polynôme
si
. Il revient au même de dire que
est solution (on dit aussi racine) de l’équation
, d’inconnue
.
Exemple : est racine « évidente » de
. Faisons alors la division euclidienne de
par
: on trouve
. On dit que
se factorise dans
(ce qui signifie que
se met en facteur dans
).
???? Dans mes fiches de révisions, j’offre des exercices pour bien comprendre cette méthode.
Cette situation est générale :
Théorème :
Le nombre
est racine de
si et seulement si
se factorise dans
, c’est à dire si et seulement si
, avec
polynôme.
Remarque : A propos des racines « évidente ». Il arrive souvent qu’on cherche des racines entières d’un polynôme à coefficients entiers. Il est alors très utile de savoir qu’une telle racine doit être un diviseur du terme constant
de
. En effet soit
un polynôme de
, c’est à dire dont les coefficients sont tous entiers (
) :
et la quantité entre parenthèse est un entier, ce qui prouve que est un diviseur de
.
Par exemple, soit . Une racine entière de
doit être un diviseur de 6. Les seules valeurs possibles sont donc ±1, ±2, ±3 et ±6. En cherchant un peu, on trouve que
est racine, d’où la factorisation
.
???? Dans mes fiches de révisions, j’offre des exercices pour bien comprendre cette méthode.
Racines simples, racines multiples
Soit à présent le polynôme ,
est racine d’où la factorisation
. Mais
possède à son tour la racine
, donc
, de sorte que
. Ainsi, on pourrait dire que le polynôme
possède « deux fois » la racine
. On dira que
est racine double de
et tout ceci nous inspire une définition :
Définition :
On dit que
est racine d’ordre
de
si
, c’est à dire si
se factorise dans
.
Remarque : On dit donc « racine d’ordre » pour « racine d’ordre
au moins ». Sinon, il faut préciser « racine d’ordre
exactement » ce qui se traduit par «
se factorise dans
, mais
ne se factorise pas, c’est à dire
avec
. L’usage veut cependant que l’on dise « racine simple » pour une racine d’ordre
exactement.
Exemple : Soit, . On a
de sorte que
est racine triple et
racine simple dans ℝ. On peut y ajouter les deux racines simples
dans ℂ.
???? Dans mes fiches de révisions, j’offre des exercices pour bien comprendre cette méthode.
Critère de racine multiple
Pour voir que est racine, c’est facile : il suffit de constater que
. Mais pour voir que
est racine multiple, c’est moins direct : on cherche à factoriser
,
, etc…
Il y a en fait une autre façon de procéder : en dérivant le polynôme . Voyons ça pour une racine double avant d’énoncer un théorème :
est racine double de
si et seulement si
. Dérivons :
et donc
. Ainsi :
……………………………………………..racine double
- Réciproquement, supposons que
. Alors
donc
d’où
. Mais par hypothèse
donc
donc
se factorise dans
:
. On en déduit que
et donc que :
………………………………………………racine double
- Finalement, nous avons démontré que :
………………………….est racine double de
si et seulement si
.
On peut le dire autrement :est racine double de
si et seulement si
est une racine commune de
et
. Ce résultat se généralise à une racine d’ordre quelconque :
Théorème :
est une racine d’ordre
de
si et seulement si
Donc
est racine d’ordre
de
si et seulement si
est une racine commune à
et ses
premières dérivées.
Factorisation des polynômes
Racines et factorisation
Soient ,
,
des racines distinctes de
. On a
, donc
se factorise dans
et donc
. Ensuite
, donc
. Or
, donc
de sorte que
se factorise dans
et donc
. De même,
donc
et finalement
.
Plus généralement, on peut montrer, par récurrence, le résultat suivant :
Théorème :
Si
,
,
… sont racines d’ordre
,
,
, … de
, alors le produit
… se factorise dans
.
Exemple : Supposons que 2 soit racine d’ordre 3, -3 racine d’ordre 2 et -1 racine simple d’un polynôme . Alors
est la forme
.
???? Dans mes fiches de révisions, j’offre des exercices pour bien comprendre cette méthode.
Corollaire :
Un polynôme de degré
possède au plus
racines complexes, chacune comptée avec son ordre de multiplicité.
Par exemple, vous savez qu’un polynôme réel de degré 2 peut avoir 0 ou 2 racines réelles (distinctes ou non). Par contre, il m’est agréable de vous annoncer que ce corollaire se simplifie sur en : un polygone de degré
possède exactement
racines complexes, chacune comptée avec son ordre de multiplicité. Ce résultat bien sympathique fait l’objet du paragraphe suivant.
Factorisation dans 
Nous admettrons le théorème de d’Alembert-Gauss, parfois appelé théorème fondamental de l’algèbre :
Théorème :
Un polynôme de degré
possède exactement
racines dans
, chacune comptée avec son ordre de multiplicité.
Soit un polynôme de degré
et soit (
,
, …,
) la liste de ses racines, distinctes ou non (c’est à dire une racine triple figurera trois fois dans la liste). On peut écrire :

où est le coefficient dominant de
(c’est à dire le coefficient de
). En regroupant alors les racines égales dans la liste, on peut aussi décrire
par ses racines distinctes
,
, avec
racine d’ordre
:

avec

Autrement dit, un polynôme se factorise sur en un produit de facteurs du premier degré.
Exemples : possède la racine “évidente” 1. On factorise
:
et 1 est encore racine, d’où
La liste des racines, distinctes ou non, est (,
,
,
).
Dans mes fiches de révisions, j’offre des exercices pour bien comprendre cette méthode.
FACTORISATION DANS 
Le théorème de d’Alembert-Gauss ne s’applique évidemment pas à : par exemple,
(ou tout trinôme de discriminant négatif) ne se factorise pas. Nous allons voir que ce cas est – en quelque sorte – le seul. Mais commençons par un exemple :
Prenons l’exemple du polynôme :
Remarquons que ses racines complexes sont conjuguées deux à deux. On peut aussi écrire, en mettant côte à côte les racines conjuguées :
En regroupant alors ces racines et en se rappelant que :
et on a ainsi réussi à factoriser en le produit de deux facteurs réels irréductibles (discriminants négatifs).
???? Dans mes fiches de révisions, j’offre des exercices pour bien comprendre cette méthode.
Il se trouve que cette situation est générale :
Soit un polynôme de
, c’est à dire à coefficients réels, et de degré
. On cherche à le factoriser en un produit de polynômes réels. Commençons donc par le factoriser dans
: soit (
, …,
) la liste de ses
racines complexes, distinctes ou non avec
:

Certaines racines peuvent être réelles, les autres étant des complexes non réels. Le remarque fondamentale est alors que :
Si est une racine non réelle d’un polynôme
, alors sa conjuguée (noté “
barre”) est aussi racine.
Prouvons-le : soit et soit
une racine de
,


(car le conjugué d’une somme est la somme des conjugués et le conjugué d’un produit est le produite des conjugués).
Or, est à coefficients réels, donc
, donc
est égal à son conjugué (noté
“barre”). Donc :

Équivaut à dire que le conjugué de est racine de
. Ainsi les racines non réelles de
vont par paires : “
,
barre”. Considérons donc dans la liste (
, …,
) des
racines de
, celles qui sont réelles : (
,
,
) et celles qui sont non réelles et qui vont par paires, disons (
,
“barre” ;
,
“barre” ;… ;
,
“barre”) :

avec . En développant ensuite chaque produit :

il vient de la décomposition de en facteurs réels :

Notez bien que chacun des facteurs réels du second degré est irréductible puisque ses racines sont les complexes ,
“barre”. En regroupant éventuellement les racines multiples, nous avons obtenus le :
Corollaire :
Tout polynôme réel de degré
se factorise en un produit de polynômes réels de degré 1 ou de degré 2 à discriminant négatif :

avec

Exemple : Soit, . On vérifie que
est racine :
donc
“barre” est aussi racine. Disposant des deux racines
et
“barre” =
, on sait que
se factorise dans
:
Mais, ce n’est pas fini car un polynôme de degré 3 doit se factoriser dans . En fait 2 est racine évidente de
ce qui laisse la factorisation :
Et là, c’est bien fini car est irréductible sur
:
Source : Cours algèbre Licence PCI
……….……Jean-François Martin – Professeur classes préparatoire/universitaire
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