Série de Fourier

Qui suis-je ?

Je suis Rémi Fonvieille, ex-étudiant en Licence EEA, je me suis tout naturellement dirigé vers un Master Robotique. Je suis moi-même passé par ces moments de recherche d’information sans réels trouvaille. C’est pour cela que j’ai fais ce travail pour vous !

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La série de Fourier permet de décomposer un signal périodique en somme de sinus et cosinus de période égale à la période du signal de base. Les séries de Fourier se rencontrent usuellement dans de nombreux domaines de la physique (mécanique, électronique, électromagnétisme, automatique, …) ou encore plus précisément dans l’étude des courants électriques, des ondes cérébrales, dans la synthèse sonore, le traitement d’images, etc.

Introduction

Joseph Fourier (1768-1837), un physicien, s’est intéressé au problème général de la décomposition d’une fonction périodique $f(t)$ , de période $T$ , en la somme généralement infinie, de sinusoïdes de fréquences multiples de $nu=frac{1}{T}$ (où $nu$ est la fréquence), mais la première justification théorique de ce résultat, valide pour les fonctions usuelles, a été établie en 1829 par le mathématicien Gustav Dirichlet. Cette décomposition appelée décomposition en série de Fourier permet de décomposer le signal périodique $f(t)$ en la somme de ses harmoniques :

$f(t)=frac {{a}_{0}} {2}+sum ^{+infty }_{n=1} {({a}_{n}cos(nomega t)+{b}_{n}sin(nomega t))}$ avec $omega =frac {2pi } {T}=2pi nu$

Si $f(t)$ est le signal d’entrée d’un système linéaire, le principe de superposition permet de se ramener à la réponse du circuit à des signaux sinusoïdaux purs, en général simple à obtenir.

Remarques :

La représentation en fréquence d’un signal périodique est un spectre de raies. Dans le cas général où, $a_ncos(nomega t)+b_nsin(nomega t)=A_ncos(nomega t-phi_n)$ avec ${A}_{n}=sqrt {{a}_{n}²+{b}_{n}²}$ , on voit que l’amplitude (ou poids) du $n^{ieme}$ harmonique est $A_n$ .
On peut obtenir une bonne approximation du signal en ne prenant en compte que ses premiers harmoniques, du fait que l’amplitude des harmoniques des fonctions usuelles tendent vers $0$ quand $n$ tend vers l’infini.
Notons que pour un signal quelconque, on parle plus généralement de transformées de Fourier qui donneront un spectre continu au lieu du spectre de raies.
La transformée de Fourier d’une fonction $f(t)$ est la fonction $F(nu )=int ^{+infty }_{-infty } {f(t){e}^{-i2pi nu t}dt}$
C’est une intégrale généralisée et on note une certaine analogie avec la transformée de Laplace.

Séries trigonométriques

Définition

Une série trigonométrique est une série de la forme : $S(t)=frac {{a}_{0}} {2}+sum ^{+infty }_{n=1} {({a}_{n}}cos(nomega t)+{b}_{n}sin(nomega t))$

${a}_{n}=frac {2} {T}int ^{T}_{0} {S(t)cos(nomega t), dt}$ avec $a_n in$ ℝ
${b}_{n}=frac {2} {T}int ^{T}_{0} {S(t)sin(nomega t), dt}$ avec $b_n in$ ℝ

Lorsqu’elle converge, un série trigonométrique représente une fonction périodique de période $T=frac{2pi}{omega}$ .

Remarque :

Si la fonction $f$ que l’on cherche à développer est :

paire, $f(t)sin(nomega t)$ est impaire, $b_n=0$ et sa série de Fourier $S_f$ est une série de cosinus.
impaire, $f(t)cos(nomega t)$ est impaire, $a_n=0$ et sa série de Fourier $S_f$ est une série de cosinus.

Écriture complexe d’une série trigonométrique

En utilisant le formulaire trigonométrique, on peut écrire cette série comme suit : $S(t)=sum ^{+infty }_{n=-infty } {{c}_{n}{e}^{inomega t}}$

${c}_{n}=frac {1} {T}int ^{T}_{0} {S(t){e}^{-inomega t}, dt}$

Notons que cette formulation de la série est très utilisée en théorie du signal et en électronique.

Remarque :

La série est bien réelle car les nombres complexes d’indices opposés sont conjugués : ${c}_{n}{e}^{inomega t}+{c}_{-n}{e}^{-inomega t}=2Re({c}_{n}{e}^{inomega t})={a}_{n}cos(nomega t)+{b}_{n}sin(nomega t)$

Utilisation d’une série de Fourier trigonométrique

Il existe deux manières d’utiliser les séries de Fourier :

Partir d’une série trigonométrique et « récupérer » les coefficients $a_n$ et $b_n$ (ou $c_n$ ) à partir de la somme $S(t)$ de la série, par le biais d’intégrales.
Partir d’une fonction T-périodique $f$ et la décomposer en une série trigonométrique, c’est-à dire trouver les coefficients $a_n$ et $b_n$ (ou $c_n$ ).

Remarque :

Dans le premier cas, on parle de $S(t)$ et non $f(t)$ car d’une part rien ne garantit la convergence de cette série et d’autre part, si elle converge, ce n’est pas forcément en tout point vers $f(t)$ .

Série de Fourier

Ici, par exemple, on visualise une somme partielle d’ordre assez élevé pour espérer une approximation correcte de la somme. C’est un signal rectangulaire qui se construit peu à peu en ajoutant des harmoniques.

On peut donc dire que la série de Fourier ainsi obtenue est bien convergente vers un signal rectangulaire $f$ .

Théorème de convergence (théorème de Dirichlet)

Une fonction périodique est dite dérivable et à dérivée continue par morceaux si :

Elle est continue, sauf éventuellement en un nombre fini de points sur une période, en lesquels elle présente une discontinuité simple (sauf fini),
Elle est dérivable et sa dérivée est continue, sauf éventuellement en un nombre fini de points sur une période, en lesquels la dérivée présente une discontinuité simple.

C’est à dire que la fonction peut avoir des sauts finis et des points anguleux à tangente non verticale, une représentation qui nous est familière, les signaux élémentaires en électronique en dents de scie.

Soit $f$ une fonction périodique dérivable et à dérivée continue par morceaux. Alors, sa série de Fourier $S_f$ converge en tout point $t$ vers :

$S_f(t)=f(t)$ si $f$ est continue au point $t$
$S_f(t)=frac{1}{2}[f(t^-)+f(t^+)]$ (point « milieu ») si $f$ présente une discontinuité en $t$ .

De manière plus pratique, on peut introduire la fonction $f*$ qui coïncide avec $f$ en tout point de continuité de $f$ , et avec le point « milieu » en toute discontinuité de $f$ :

${f}^{*}(t)=f(t)$ si $f$ continue en $t$
${f}^{*}(t)=frac {1} {2}left [ {f({t}^{-})+f({t}^{+})} right ]$ si $f$ discontinue en $t$

En conclusion, $S_f=f*$ .

Formule de Parseval

La formule de Parseval nous dit que la puissance $P$ d’un signal électrique $f$ de période $T$ :

$P=frac {1} {T}int ^{T}_{0} {{(f(t))}^{2}}dt$

est la somme des puissances de tous ses harmoniques.

Soit $f$ T-périodique et continue par morceaux sur ℝ, et soit $a_n$ , $b_n$ et $c_n$ ses coefficients de Fourier :

$frac {1} {T}int ^{T}_{0} {{(f(t))}^{2}}, dt=sum ^{+infty }_{n=-infty } {left | {{c}_{n}} right |^{2}}=frac {1} {4}{a}^{2}_{0}+frac {1} {2}sum ^{+infty }_{n=1} {({a}^{2}_{n}}+{b}^{2}_{n})$

Remarque : Ce qui nous intéresse, c’est que la formule de Parseval implique que les séries
$sum ^{+infty }_{0} {left | {{c}_{n}} right |^{2}}$ , $sum ^{+infty }_{0} {{a}^{2}_{n}}$ et $sum ^{+infty }_{0} {{b}^{2}_{n}}$ sont convergentes et donc qu’en particulier : $lim_{nrightarrow+infty} c_n=lim_{nrightarrow+infty} a_n=lim_{nrightarrow+infty} b_n=0$ Donc, une approximation du signal peut être obtenue en ne transmettant que les premiers harmoniques (notamment du fait que les poids des harmoniques tendent vers $0$ ). Notons également que la qualité du signal dépend de la vitesse de convergence de ces harmoniques vers $0$ et que $P_n$ désigne la puissance transmise par les $n$ premiers harmoniques :

${P}_{n}=sum ^{n}_{k=-n} {left | {{c}_{k}} right |^{2}}$

de manière que l’on puisse se faire une idée de la qualité de transmission en calculant le rapport $P_n/P$ , qui donne le pourcentage de puissance transmise.