Définition 1 :
Une série entière est une série de la forme
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Dans le cas particulier où
,
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ℝ, on a donc une série entière réelle
qui apparaît comme un polynôme « généralisé ».
.
Rayon de convergence
.
Lorsqu’on étudie la convergence d’une série entière, il est commode de comparer la série étudiée à une série géométrique. Afin de déterminer la nature de la série, lorsque tend vers l’infini, on utilisera la limite du quotient
.
Soit, une suite numérique et soit
Soit, une suite numérique et soit
absolument convergente (donc cv)
grossièrement divergente (donc dv)
Ne peut rien dire → Voir avec la méthode de Riemann
Ce qui permet d’en déduire le théorème de convergence des séries entières :
Théorème 1 :
Pour toute série entière, il existe
tel que :
- La série est absolument convergente pour tout
ℂ tel que
,
- La série est grossièrement divergente pour tout
ℂ tel que
Le réel
s’appelle le rayon de convergence de la série. On ne peut rien dire de général pour
Ainsi la série est absolument convergente sur le disque ouvert et est grossièrement divergente sur le complémentaire du disque fermé
. Le domaine de définition
de la fonction
définie par
est donc tel que
Dans le cas cas d’une série entière réelle, le domaine définition de la fonction
est tel que
.
Opérations sur les séries entières
.
Somme et produit
Soitet
deux séries de rayons de convergence respectifs
et
.
- Il est clair que la série
est convergence pour tout
ℂ de module inférieur à la fois à
et à
. On en déduit que le rayon de convergence de la série
est au moins égal à
. Sa somme est alors
.
- Considérons de même la série produit :
Cette série est absolument convergente lorsque ses deux paramètres (aussi appelés opérandes) sont absolument convergente et que la somme est alors le produit des sommes. Il vient que cette série produit converge pour toutℂ de module inférieur à la fois à
et à
et donc que le rayon de convergence de la série
est au moins égal à
. On a alors
.
.
Intégration et dérivation
Considérons la série, de rayon de convergence
et associons-lui les deux séries suivantes (que l’on peut assimiler à une série dérivée et une série primitive, si l’on considère la variable comme réelle) :
et
A partir du rapport de d’Alembert, on montre (et admettra dans tous les cas c’est-à dire même quand d’Alembert ne marche pas) que ces trois séries ont le même rayon de convergence :
Ceci nous amène au théorème suivant :
Théorème 2 :
Soit
une série entière réelle de rayon de convergence
On peut intégrer terme à terme :
sur
.
On peut dériver terme à terme : est dérivable sur
, avec
Plus généralement, est indéfiniment dérivable sur
, avec
En résumé, sur l’intervalle ouvert de convergence :
- la dérivée d’une série entière est égale à la série des dérivées, et
- l’intégrale d’une série entière est égale à la série des intégrales.
.
Développement d’une fonction en série entière
.
Définition, série de Taylor
Définition 2 :
On dit qu’une fonction réelleest développable en série entière autour de
si elle est égale à la somme d’une série entière de rayon de convergence
sur
Pour qu’une fonction soit développable en série entière autour de , elle doit être définie et indéfiniment dérivable sur un intervalle ouvert centré en
.
Remarque : La plupart des fonctions indéfiniment dérivables usuelles sont développable en série entière autour de .
Le calcul se fait par extension de la formule de Taylor vue en première année.
Partons de la fonction réelle égale à la somme d’une série entière de rayon de convergence
fois en utilisant la formule de fin du théorème 2. En faisant
, ce qui revient à prendre le terme constant :
, donc
, on reporte cette valeur dans la série du théorème 2 et on obtient :
La série ci-dessus s’appelle la série de Taylor de . Usuellement la formule de Taylor permet de calculer les développements limités usuels, sauf que dans ce cas, il s’agit de développements « illimités » c’est-à dire de séries. On note également que le terme
apparaît dans les développements limités et dans les développement en série entière, les formules donnant les développements en série entière usuels et les développements limités usuels sont donc analogues.
Remarque : On note que le développement limité n’est exploitable que localement (c’est-à dire au voisinage d’un point) alors que le développement en série entière est exploitable globalement, donc sur tout l’intervalle de convergence .
.
Développement en série des fonctions usuelles
On suit la même formule que l’on applique aux différentes fonctions usuelles. On note que le rayon de convergence se calcule par d’Alembert.
L’exponentielle
Le sinus et le cosinus
Le sinus et le cosinus hyperbolique par combinaison d’exponentielles
Le binôme généralisé
Remarque : Si est un entier
, le coefficient de
s’annule dès que
Remarque : Le développement en série entière de la fraction (
ℕ*) est
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