Séries entières

Qui suis-je ?

Je suis Rémi Fonvieille, ex-étudiant en Licence EEA, je me suis tout naturellement dirigé vers un Master Robotique. Je suis moi-même passé par ces moments de recherche d’information sans réels trouvaille. C’est pour cela que j’ai fais ce travail pour vous !

En savoir plus sur les FICHES DE REVISION

Définition 1 :
Une série entière est une série de la forme

$s(z)={a}_{0}+{a}_{1}z+{a}_{2}z²+...+{a}_{n}{z}^{n}+...=sum ^{+infty }_{n=0} {{a}_{n}{z}^{n}}$ $({a}_{n},, z, in , mathbb{C}, ).$

Dans le cas particulier où $a_n$ , $x$ $in$ ℝ, on a donc une série entière réelle $s(x)=sum ^{+infty }_{n=0} {{a}_{n}{x}^{n}}$ qui apparaît comme un polynôme « généralisé ».

Rayon de convergence

Lorsqu’on étudie la convergence d’une série entière, il est commode de comparer la série étudiée à une série géométrique. Afin de déterminer la nature de la série, lorsque $n$ tend vers l’infini, on utilisera la limite du quotient Rayon de convergence

Soit, $(u_n)$ une suite numérique et soit $l=lim_{{nto+infty}}left |frac{u_{n+1}}{u_n} right |$

$l<1$ $Rightarrow$ $sum {{u}_{n}}$ absolument convergente (donc cv)
$l>1″ align= »absmiddle »><img decoding=$ $sum {{u}_{n}}$ grossièrement divergente (donc dv)
$l=1$ $Rightarrow$ Ne peut rien dire → Voir avec la méthode de Riemann

Ce qui permet d’en déduire le théorème de convergence des séries entières :

Théorème 1 :
Pour toute série entière $sum ^{+infty }_{n=0} {{a}_{n}{z}^{n}}$ , il existe $R in [0,+infty]$ tel que :

La série est absolument convergente pour tout $z$ $in$ ℂ tel que $|z| < R$ ,

La série est grossièrement divergente pour tout $z$ $in$ ℂ tel que $|z| > R » align= »absmiddle »>.</li> </ul> <span style=$ Le réel $R$ s’appelle le rayon de convergence de la série. On ne peut rien dire de général pour $|z|=R$

Ainsi la série est absolument convergente sur le disque ouvert $D(0,R)$ et est grossièrement divergente sur le complémentaire du disque fermé $D(0,R)$ . Le domaine de définition $D_s$ de la fonction $s$ définie par $s(z)=sum ^{+infty }_{n=0} {{a}_{n}{z}^{n}}$ est donc tel que $D(0,R)subset D_ssubset D(0,R)$

Dans le cas cas d’une série entière réelle, le domaine définition $D_s$ de la fonction $s, :, xto s(x)=sum ^{+infty }_{n=0} {{a}_{n}{x}^{n}}$ est tel que $]-R,R[subset D_ssubset [-R,R]$

Opérations sur les séries entières

Somme et produit

Soit $a(z)=sum ^{+infty }_{n=0} {{a}_{n}{z}^{n}}$ et $b(z)=sum ^{+infty }_{n=0} {{b}_{n}{z}^{n}}$ deux séries de rayons de convergence respectifs $R_a$ et $R_b$ .

Il est clair que la série $s(z)=sum ^{+infty }_{n=0} {(}lambda {a}_{n}+mu {b}_{n}){z}^{n}$ est convergence pour tout $z in$ ℂ de module inférieur à la fois à $R_a$ et à $R_b$ . On en déduit que le rayon de convergence de la série $s$ est au moins égal à $min(R_a,R_b)$ . Sa somme est alors $s(z)=lambda a(z)+mu b(z)$ .
Considérons de même la série produit : $p(z)=a(z)b(z)=({a}_{0}+{a}_{1}z+...)({b}_{0}+{b}_{1}z+...)={a}_{0}{b}_{0}+...+({a}_{0}{b}_{n}+...+{a}_{n}{b}_{0}){z}^{n}+...=sum ^{+infty }_{n=0} left ( {sum ^{n}_{k=0} {{a}_{k}{b}_{n-k}}} right ){z}^{n}$
Cette série est absolument convergente lorsque ses deux paramètres (aussi appelés opérandes) sont absolument convergente et que la somme est alors le produit des sommes. Il vient que cette série produit converge pour tout $z in$ ℂ de module inférieur à la fois à $R_a$ et à $R_b$ et donc que le rayon de convergence de la série $p$ est au moins égal à $min(R_a,R_b)$ . On a alors $p(z)=a(z)b(z)$ .

Intégration et dérivation

Considérons la série $s(z)=sum ^{+infty }_{n=0} {{a}_{n}{z}^{n}}$ , de rayon de convergence $R$ et associons-lui les deux séries suivantes (que l’on peut assimiler à une série dérivée et une série primitive, si l’on considère la variable comme réelle) : $sigma (z)=sum ^{+infty }_{n=1} {n{a}_{n}{z}^{n-1}}$ et $S(z)=sum ^{+infty }_{n=0} {{a}_{n}frac {{z}^{n+1}} {n+1}}$

A partir du rapport de d’Alembert, on montre (et admettra dans tous les cas c’est-à dire même quand d’Alembert ne marche pas) que ces trois séries ont le même rayon de convergence $R$ : $left | {frac {{a}_{n+1}} {{a}_{n}}} right |$

Ceci nous amène au théorème suivant :

Théorème 2 :

Soit $s(x)=sum ^{+infty }_{n=0} {{a}_{n}{x}^{n}}$ une série entière réelle de rayon de convergence $R>0″ align= »absmiddle »>. <ul> <li><span style=$ On peut intégrer terme à terme : $sum ^{+infty }_{n=0} {{a}_{n}frac {{x}^{n+1}} {n+1}}=int ^{x}_{0} {s(t)dt}$ sur $]-R,R[$ .
On peut dériver terme à terme : $s$ est dérivable sur $]-R,R[$ , avec $s'(x)=sum ^{+infty }_{n=1} {n{a}_{n}{x}^{n-1}}$

Plus généralement, $s$ est indéfiniment dérivable sur $]-R,R[$ , avec ${s}^{(k)}(x)=sum ^{+infty }_{n=k} {n(n-1)...(n-k+1){a}_{n}{x}^{n-k}}$

En résumé, sur l’intervalle ouvert de convergence :

la dérivée d’une série entière est égale à la série des dérivées, et
l’intégrale d’une série entière est égale à la série des intégrales.

Développement d’une fonction en série entière

Définition, série de Taylor

Définition 2 :
On dit qu’une fonction réelle $f$ est développable en série entière autour de $0$ si elle est égale à la somme d’une série entière de rayon de convergence $R>0″ align= »absmiddle »> :<img decoding=$ sur $]-R,R[$

Pour qu’une fonction soit développable en série entière autour de $0$ , elle doit être définie et indéfiniment dérivable sur un intervalle ouvert centré en $0$ .

Remarque : La plupart des fonctions indéfiniment dérivables usuelles sont développable en série entière autour de $0$ .

Le calcul se fait par extension de la formule de Taylor vue en première année.

Partons de la fonction réelle $f$ égale à la somme d’une série entière de rayon de convergence $R>0″ align= »absmiddle »> vue à la définition 2 et dérivons <img decoding=$ fois en utilisant la formule de fin du théorème 2. En faisant $x=0$ , ce qui revient à prendre le terme constant : $f^{(k)}(0)=k!a_k$ , donc $a_k=frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ , on reporte cette valeur dans la série du théorème 2 et on obtient : $f(x)=f(0)+f'(0)x+...+frac {{f}^{(n)}(0)} {n!}{x}^{n}+...=sum ^{+infty }_{n=0} {frac {{f}^{(n)}(0)} {n!}}{x}^{n}$

La série ci-dessus s’appelle la série de Taylor de $f$ . Usuellement la formule de Taylor permet de calculer les développements limités usuels, sauf que dans ce cas, il s’agit de développements « illimités » c’est-à dire de séries. On note également que le terme $frac{f^{(k)}(0)}{n!}x^n$ apparaît dans les développements limités et dans les développement en série entière, les formules donnant les développements en série entière usuels et les développements limités usuels sont donc analogues.

Remarque : On note que le développement limité n’est exploitable que localement (c’est-à dire au voisinage d’un point) alors que le développement en série entière est exploitable globalement, donc sur tout l’intervalle de convergence $]-R,R[$ .

Développement en série des fonctions usuelles

On suit la même formule que l’on applique aux différentes fonctions usuelles. On note que le rayon de convergence se calcule par d’Alembert.

L’exponentielle

${e}^{x}=1+x+frac {x²} {2!}+...+frac {{x}^{n}} {n!}+...=sum ^{+infty }_{n=0} {frac {{x}^{n}} {n!}}, , , , , , , (R=+infty )$

Le sinus et le cosinus

$sin(x)=x-frac {{x}^{3}} {3!}+frac {{x}^{5}} {5!}+...+(-1{)}^{n}frac {{x}^{2n+1}} {(2n+1)!}+...=sum ^{+infty }_{n=0} {(-1{)}^{n}frac {{x}^{2n+1}} {(2n+1)!}}, , , , , , , (R=+infty )$

$cos(x)=1-frac {{x}^{2}} {2!}+frac {{x}^{4}} {4!}+...+(-1{)}^{n}frac {{x}^{2n}} {(2n)!}+...=sum ^{+infty }_{n=0} {(-1{)}^{n}frac {{x}^{2n}} {(2n)!}}, , , , , , , (R=+infty )$

Le sinus et le cosinus hyperbolique par combinaison d’exponentielles

$sh(x)=frac {1} {2}({e}^{x}-{e}^{x})=sum ^{+infty }_{n=0} {frac {{x}^{2n+1}} {(2n+1)!}}, , , , , , , (R=+infty )$

$ch(x)=frac {1} {2}({e}^{x}+{e}^{-x})=sum ^{+infty }_{n=0} {frac {{x}^{2n}} {(2n)!}}, , , , , , , (R=+infty )$

Le binôme généralisé

${(1+x)}^{a}=1+ax+frac {a(a-1)} {2!}{x}^{2}+...+frac {a(a-1)...(a-n+1)} {n!}{x}^{n}+...=sum ^{+infty }_{n=0} {frac {a(a-1)...(a-k+1)} {n!}}{x}^{n}, , , , , , , (R=1)$

Remarque : Si $a$ est un entier $p$ , le coefficient de $x^k$ s’annule dès que $n>p » align= »absmiddle »> et il vient la formule du binôme de Newton (d’où le nom de « binôme généralisé ») :<img decoding=$