Séries numériques

Qui suis-je ?

Je suis Rémi Fonvieille, ex-étudiant en Licence EEA, je me suis tout naturellement dirigé vers un Master Robotique. Je suis moi-même passé par ces moments de recherche d’information sans réels trouvaille. C’est pour cela que j’ai fais ce travail pour vous !

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Définitions

Définition

Soit $(u_n)_N$ une suite numérique (avec $u_n$ $in$ ℝ ou ℂ).
Étudier la SÉRIE de terme général $u_n$ revient à analyser la SUITE de terme général ${s}_{n}=sum ^{n}_{k=0} {{u}_{k}}$

La SERIE de terme général $u_n$ est convergente (cv) si la suite de terme général $s_n$ est convergente. La limite de la suite $(s_n)$ est alors notée. $s=sum ^{+infty }_{k=0} {{u}_{k}}{=}_{}{}^{{, , , , lim}^{}}_{nto +infty }{}{}^{}_{}sum ^{n}_{k=0} {{u}_{k}}$
Et réciproquement lorsqu’elle est divergente (dv).

Remarque : Les 2 cas de divergence :

La série diverge avec $s=pminfty$ lorsque la suite $(s_n)$ diverge vers $pminfty$ .
La série diverge et sa somme n’a aucun sens lorsque la suite $(s_n)$ n’a pas de limite.

Vocabulaire

Une série est une somme de terme.

S’il y a CV de la série; lorsque $nrightarrow+infty$ , ${s}_{n}to s=sum ^{+infty }_{k=0} {{u}_{k}}=sum ^{n}_{k=0} {{u}_{k}}+sum ^{+infty }_{k=n+1} {{u}_{k}}$ avec :

◊ la somme partielle d’ordre $n$ de la série de terme ${s}_{n}=sum ^{n}_{k=0} {{u}_{k}}$ et

◊ le reste d’ordre $n$ de la série de terme ${r}_{n}=sum ^{+infty }_{k=n+1} {{u}_{k}}$ .

Remarque : On a $r_n=s-s_n$ uniquement lorsque la série est convergente si et seulement si son reste $r_n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l’infini.

Pour qu’une série converge, il est nécessaire que son terme général tende vers $0$ .
Si le terme général ne tend pas vers $0$ , alors la série diverge, on dit même que la série est grossièrement divergente.

Séries de Riemann

La série de Riemann $xi (alpha )=sum ^{+infty }_{n=1} {frac {1} {{n}^{alpha }}}$ est convergente si et seulement si $alpha<1$ .

Séries à termes positifs

Pour avoir la nature d’une série à termes positifs, il suffit de regarder si les sommes partielles sont majorées ou pas.

Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites positives.

Si $u_nleq v_n$ , alors $sum ^{+infty }_{n=0} {{v}_{n}}$ converge $Rightarrow$ $sum ^{+infty }_{n=0} {{u}_{n}}$ converge aussi

Si $u_nsim v_n$ , alors les séries $sum ^{+infty }_{n=0} {{v}_{n}}$ et $sum ^{+infty }_{n=0} {{u}_{n}}$ sont de même nature

Séries absolument convergentes

Pour avoir la nature d’une série dont les termes ne sont pas de signe constant, ou à termes complexes, il suffit de regarder si la série est absolument convergente.

La série $sum ^{+infty }_{n=0} {{u}_{n}}$ est absolument convergente (ACV) si la série des modules $sum ^{+infty }_{n=0} left | {{u}_{n}} right |$ CV.
Si la série est absolument convergente, elle est alors convergente.
Mais si la série et convergente, elle n’est pas forcément absolument convergente.

Critère de d’Alembert

Utiliser le critère d’Alembert revient à comparer la série étudiée à une série géométrique. Afin de déterminer la nature de la série, on utilisera la limite du quotient $r=left |frac{u_{n+1}}{u_n} right |$ quand n tend vers l’infini.

Soit, $(u_n)$ une suite numérique et soit $l=lim_{{nto+infty}}left |frac{u_{n+1}}{u_n} right |$ .

$l<1$ $Rightarrow$ $sum {{u}_{n}}$ absolument convergente (donc cv)
$l>1″ align= »absmiddle »><img decoding=$ $sum {{u}_{n}}$ grossièrement divergente (donc dv)
$l=1$ $Rightarrow$ On ne peut rien dire → Voir avec la méthode de Riemann

Séries alternées

Une série alternée est une série dont le terme général est alternativement positif ou négatif, il est de la forme $u_n=(-1)^na_n$ (ou bien $u_n=(-1)^{n+1}a_n$ ) avec $a_ngeq 0$ . Sa somme $s$ serait :

$s=sum ^{+infty }_{n=0} {{(-1)}^{n}}{a}_{n}={a}_{0}-{a}_{1}+{a}_{2}-{a}_{3}+...+{(-1)}^{n}{a}_{n}+...$

Lorsque la suite $(a_n)$ est décroissante et convergente vers $0$ , on déduit facilement que les deux suites $(s_{2n})$ et $(s_{2n+1})$ formées des sommes partielles d’ordre pair et impair sont adjacentes et convergent donc vers une même limite $s$ .

La série alternée est donc convergente et sa somme s est encadrée par les sommes partielles : $s_{2n+1}leq sleq s_{2n}$

Théorème des séries alternées (TSA)

Si une série alternée (avec $a_ngeq 0$ ) est telle que la suite $a_n$ est décroissante vers $0$ , alors :

$s=sum ^{+infty }_{n=0} {{(-1)}^{n}}{a}_{n}={a}_{0}-{a}_{1}+{a}_{2}-{a}_{3}+...+{(-1)}^{n}{a}_{n}+...$

◊ La série converge

◊ La valeur absolue de son reste est : $left | r_n right |=left | s-s_n right |leq a_{n+1}$

Majoration de l’erreur de méthode lorsqu’on approche la somme $s$ d’une série par sa somme partielle $s_n$

Permet d’étudier les séries de Riemann alternées :

$s(alpha )=sum ^{+infty }_{n=1} {frac {{(-1)}^{n+1}} {{n}^{alpha }}}=1-frac {1} {{2}^{alpha }}+frac {1{}^{}} {{3}^{alpha }}-...+frac {{(-1)}^{n+1}} {{n}^{alpha }}+...$

◊ $alpha>1″ align= »absmiddle »> <img decoding=$ Absolument convergentes, donc convergentes