Racines nièmes d’un nombre complexe

Qui suis-je ?

Je suis Rémi Fonvieille, ex-étudiant en Licence EEA, je me suis tout naturellement dirigé vers un Master Robotique. Je suis moi-même passé par ces moments de recherche d’information sans réels trouvaille. C’est pour cela que j’ai fais ce travail pour vous !

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Introduction

Rappelons que tout réel positif $R$ possède une unique racine $n^{ieme}$ positive $r$ , c’est à dire qu’il existe un unique réel $r\geq 0$ tel que $r^n=R$ . Ceci découle de ce que la fonction puissance $x\mapsto x^n$ est une bijection de $[0$ , $+ \infty [$ vers $[0$ , $+\infty [$ . Ce réel $r$ se note usuellement $r=\sqrt[n]{R}$ ou $r=R^{1/n}$ .

Notez cependant que si $n$ est pair et $R\gt 0$ , il existe en fait deux réels $r$ tel que $r^n=R$ (ce sont $r=\sqrt[n]{R}$ et $r=-\sqrt[n]{R}$ ) et donc $R$ possède deux racines $n^{iemes}$ (dont une seule est positive !).

Bien sûr, si $n$ est pair et $R\lt 0$ , $R$ ne possède aucune racine $n^{iemes}$ (réelle)

Par contre si $n$ est impair, tout réel possède une unique racine $n^{ieme}$ (car alors $x\mapsto x^n$ est une bijection de $\mathbb {R}$ vers $\mathbb {R}$ )

La situation est un peu glauque !

Notez bien ce vocabulaire un peu subtil : pour un réel $R$ ,

– Une racine $n^{ieme}$ de $R$ est tout réel $x$ tel que $x^n=R$ (il peut y en avoir 0, 1 ou 2),

– La racine $n^{ieme}$ de $R\geq 0$ est son unique racine $n^{ieme}$ positive, c’est-à-dire $r=\sqrt[n]{R}$

Exemple : $-2$ est une racine $4^{ieme}$ de $16$ , mais la racine $4^{ieme}$ de $16$ est $\sqrt[4]{16}=+2$

Avec les nombres complexes, tout ceci va se simplifier … car on va montrer que :

tout nombre complexe $Z$ $\neq$ $0$ possède exactement $n$ racines $n^{iemes}$

Racines n^ièmes de l’unité

Définition

On appelle racine $n^{ieme}$ de l’unité tout complexe $z$ tel que $z^n=1$

Exemple : le complexe $i$ est une racine quatrième de $1$ car $i^4=1$ . De même $e^{i\pi/4}$ est une racine huitième de $1$ , car $\left ( e^{i\pi/4} \right )^8$ $= e^{2i\pi}=1$ .

Pour la recherche des racines $n^{iemes}$ de $1$ , il est commode d’utiliser la forme exponentielle, bien adaptée au calcul de puissances. On cherche donc tous les complexes $z=r$ $e^{i\theta$ tels que $z^n=1$ :

$z^n=1\Leftrightarrow\($ ( $r$ $e^{i\theta}$ ) $^n$ $=1\Leftrightarrow r^n$ $e^{in\theta}=1$

Ainsi les racines $n^{iemes}$ de l’unité sont les $n$ complexes $\omega_k=e\frac{2ik\pi}{n}$ avec $k$ entier relatif. Il est important de noter qu’il y a exactement $n$ complexes distincts de cette forme, qui sont $\omega_0$ , $\omega_1$ $.$ $.$ $.$ $.$ $\omega_{n-1}$ , car on voit que la suite $(\omega_k)$ est périodique : $\omega_n=\omega_0$ , $\omega_{n+1}=\omega_1$ , $.$ $.$ $.$ , $\omega_{n+k}=\omega_k$ .

On vient alors de démontrer le :

Théorème :

1. Les racines $n^{iemes}$ de l’unité sont les $n$ complexes $\omega_k=e\frac{2ik\pi}{n}$ ( $k=0$ , $.$ $.$ $.$ , $n-1$ ).
2. Les points $M_k$ d’affixe $\omega_k$ , sont les sommets d’un polygone régulier de $n$ côtés, tracés sur le cercle unité.

Exemple : Les huit racines huitièmes de $1$ sont les $\omega_k=e\frac{2ik\pi}{8}$ ( $k=0$ , $.$ $.$ $.$ , $7$ ) dont les images forment un octogone régulier.

Remarque : on utilise souvent le fait que $\omega_k=e\frac{2ik\pi}{n}$ $=(e\frac{2in}{n})^k$ $=(\omega_1)^k$ , c’est à dire que les racines $n^{iemes}$ de $1$ sont les puissances successives de $\omega_1$ .

Racines n^ièmesd’un complexe $A$

Définition

On appelle racine $n^{ieme}$ du complexe $A$ tout complexe $z$ tel que $z^n=A$ .

Exemple : le complexe $i$ est une racine carrée de $-1$ .

[wp-svg-icons icon= »exit » wrap= »i »] Ce sujet est abordé en détail dans l’article de cours sur les nombres complexes.

Autre exemple : $(2+i)^4=(3+4i)^2=-7+12i$ donc $2+i$ est une racine quatrième de $A=-7+12i$ .

Ici encore, pour la recherche des racines $n^{ieme}$ de $A$ , il est commode d’utiliser la forme exponentielle. Soit $A=Re^{i\alpha}$ , avec $R\gt 0$ . On cherche tous les complexes $z=r$ $e^{i\theta}$ tels que $z^n=A$ :

$z^n=A\Leftrightarrow(r$ $e^{i\theta})^n=Re^{i\alpha}$

Les racines $n^{iemes}$ de $A=Re^{i\alpha}$ sont donc les $z_k=\sqrt[n]{R}$ $e^i {\frac{\alpha+2kn}{n}}$ , avec $k$ entier relatif. Ici $z_{k+n}=z_k$ . Nous venons de démontrer le :

Théorème :

1. Tout complexe non nul $A=R$ $e^{i\alpha}$ admet exactement $n$ racines $n^{ieme}$ données par les $z_k=\sqrt[n]{R}e^{i\frac{a+2k\pi}{n}$ ( $k=0$ , $.$ $.$ $.$ , $n-1$ )

2. Les points $M_k$ , d’affixe $z_k$ , sont les sommets d’un polygone régulier de $n$ côtés, tracé sur le cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt[n]{R}$

Remarque : Vous remarquerez que l’on obtient les $n$ racines $n^{iemes}$ de $A$ en prenant l’une d’entre elles, par exemple $z_0$ , et en multipliant par les $n$ racines $n^{iemes}$ de l’unité : $z_k=z_0 e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ ( $k=0$ , $.$ $.$ $.$ , $n-1$ )

Géométriquement, cela revient à faire subir au point $M_o(z_o)$ des rotations successives d’angle $2\pi/n$ , ce qui nous donne le polygone régulier de $n$ côtés.

Remarque : J’insiste ! Les symboles $\sqrt{x}$ et $^n\sqrt{x}$ sont réservés aux réels positifs et désignent sans ambiguïté la racine carrée et la racine $n^{ieme}$ positive de ce réel. Ils sont interdits pour désigner une racine $n^{ieme}$ d’un complexe, pour cause d’ambiguïté.

Racines carrée et équation du second degré dans $\mathbb {C}$

Racine carrée sous forme algébrique

Nous venons de voir que pour calculer les racines $n^{iemes}$ , la « bonne » forme était la forme exponentielle. Cependant, pour les racines carrées $(n=2)$ , on peut obtenir la forme algébrique. Un exemple suffira pour comprendre la méthode :

Exemple : Cherchons les racines carrées de $A=5+12i$ sous leur forme algébrique. On cherche donc $z=a+ib$ tel que $z^2=A$ , c’est à dire tel que $(a+ib)^2=5+12i$ . On va égaler les parties réelles et imaginaires :

$(a+ib)^2=5+12i \Leftrightarrow a^2-b^2+2iab=5+12i$

Sous cette forme, le calcul de $a$ et $b$ n’est pas très commode (quoique faisable). Une astuce consiste à ajouter l’égalité des modules $|(a+ib)^2|$ $=|5+12i|$ . Comme cette information est redondante, l’équivalence est préservée :

$(a+ib)^2=5+12i$

De $a^2-b^2=5$ et $a^2+b^2=13$ , on tire facilement $a^2=9$ et $b^2=4$ , d’où les quatre possibilités $(a$ , $b)$ $=(\pm3$ , $\pm2)$ . Parmi ces quatre possibilités, seules deux vérifient en outre la troisième équation $2ab=12$ . Finalement il ne reste que les deux solutions $(a$ , $b)=(3$ , $2)$ et $(a$ , $b)=(-3$ , $-2)$ :

Les deux racines carrées de $5+12i$ sont $\pm$ $(3+2i)$ .

Équation du second degré dans $\mathbb {C}$

Vous avez utilisé en terminale les nombres complexes pour résoudre les équations du second degré dont le discriminant est négatif. C’est d’ailleurs une des raisons qui ont poussé les algébristes du XVIème siècle à inventer ces nombres imaginaires. Ainsi, par exemple, l’équation

$(e)$ : $x^2+2x+2=0$

n’a pas de solution réelle car son discriminant $\Delta =-4$ est négatif. Mais $\Delta =-4=4i^2$ possède (comme tout complexe) deux racines carrées qui sont $+2i$ et $-2i$ , ce qui nous permet de donner les deux solutions complexes de l’équation $(e)$ :

$x_1=\frac{-2+2i}{2}=-1+i$ et $x_2=\frac{-2-2i}{2}=-1-i$

Mais maintenant que nous savons calculer les racines carrées de tout nombre complexe (et pas seulement des réels négatifs), nous pouvons généraliser ce travail aux équations du second degré à coefficient complexes.

Nous voulons résoudre dans $\mathbb {C}$ l’équation du second degré à coefficients complexes :

$(e)$ $a$ $z^2+b$ $z+c=0$ avec $a$ , $b$ , $c$ $\in$ $\mathbb {C}$ et $a\neq 0$

La méthode est identique à celle que vous avez utilisé en seconde pour résoudre cette équation dans le cas réel : on met le trinôme sous forme canonique en mettant $a$ en facteur puis e, décidant que $z^2+\frac{b}{a}z$ est le début d’un carré …

$az^2+bz+c=a\left [ \left ( z^2+\frac{b}{a}z+\frac{c}{a} \right ) \right ]$ $=a\left [ \left ( z+\frac{b}{2a} \right )^2- \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 +\frac{c}{d} \right ]$ $=a\left [ \left ( z+\frac{b}{2a} \right )^2- \frac{b^2-4ac}{4a^2} \right ]$

On pose alors $\Delta =b^2-4ac$ pour obtenir l’équivalence :

$(e)$ $a$ $z^2+b$ $z+c=0$ $\Leftrightarrow$ ( $z+\frac{b}{2a})^2=\frac{\Delta}{4a^2}$

Appelons alors $\delta$ l’une des deux racines carrées du complexe $\Delta$ (je rappelle que le symbole √ est interdit – sauf si le discriminant $\Delta$ est un réel positif bien sûr -). On obtient :

$(e)$ $a$ $z^2+b$ $z+c=0$ $\Leftrightarrow$ $z+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\delta}{2a}$ $\Leftrightarrow$ $z=\frac{-b\pm\delta}{2a}$

En conclusion, vous voyez que l’expression des racines reste celle que vous connaissiez.

Exemple : soit à résoudre $(e)$ $z^2-(1+2i)z-2(1+i)=0$ .

Le discriminant est $\Delta=(1+2i)^2+8(1+i)=5+12i$ dont nous avons calculé dans le paragraphe précédent les racines carrées $\pm(3+2i)$ . Prenons $\delta=(3+2i)$ . Les solutions de $(e)$ sont :