Introduction
Rappelons que tout réel positif possède une unique racine
positive
, c’est à dire qu’il existe un unique réel
tel que
. Ceci découle de ce que la fonction puissance
est une bijection de
,
vers
,
. Ce réel
se note usuellement
ou
.
Notez cependant que si est pair et
, il existe en fait deux réels
tel que
(ce sont
et
) et donc
possède deux racines
(dont une seule est positive !).
Bien sûr, si est pair et
,
ne possède aucune racine
(réelle)
Par contre si est impair, tout réel possède une unique racine
(car alors
est une bijection de
vers
)
La situation est un peu glauque !
Notez bien ce vocabulaire un peu subtil : pour un réel ,
– Une racine de
est tout réel
tel que
(il peut y en avoir 0, 1 ou 2),
– La racine de
est son unique racine
positive, c’est-à-dire
Exemple : est une racine
de
, mais la racine
de
est
Avec les nombres complexes, tout ceci va se simplifier … car on va montrer que :
tout nombre complexe
possède exactement
racines
Racines nièmes de l’unité
Définition
On appelle racine de l’unité tout complexe
tel que
Exemple : le complexe est une racine quatrième de
car
. De même
est une racine huitième de
, car
.
Pour la recherche des racines de
, il est commode d’utiliser la forme exponentielle, bien adaptée au calcul de puissances. On cherche donc tous les complexes
tels que
:
(
)

Ainsi les racines de l’unité sont les
complexes
avec
entier relatif. Il est important de noter qu’il y a exactement
complexes distincts de cette forme, qui sont
,
, car on voit que la suite
est périodique :
,
,
,
.
On vient alors de démontrer le :
Théorème :
1. Les racines
de l’unité sont les
complexes
(
,
![]()
![]()
,
).
2. Les pointsd’affixe
, sont les sommets d’un polygone régulier de
côtés, tracés sur le cercle unité.
Exemple : Les huit racines huitièmes de sont les
(
,
,
) dont les images forment un octogone régulier.
Remarque : on utilise souvent le fait que
, c’est à dire que les racines
de
sont les puissances successives de
.
Racines nièmes d’un complexe 
Définition
On appelle racine du complexe
tout complexe
tel que
.
Exemple : le complexe est une racine carrée de
.
[wp-svg-icons icon= »exit » wrap= »i »] Ce sujet est abordé en détail dans l’article de cours sur les nombres complexes.
Autre exemple : donc
est une racine quatrième de
.
Ici encore, pour la recherche des racines de
, il est commode d’utiliser la forme exponentielle. Soit
, avec
. On cherche tous les complexes
tels que
:

Les racines de
sont donc les
, avec
entier relatif. Ici
. Nous venons de démontrer le :
Théorème :
1. Tout complexe non nul
![]()
admet exactement
racines
données par les
(
,
![]()
![]()
,
)
2. Les points
, d’affixe
, sont les sommets d’un polygone régulier de
côtés, tracé sur le cercle de centre
et de rayon
Remarque : Vous remarquerez que l’on obtient les racines
de
en prenant l’une d’entre elles, par exemple
, et en multipliant par les
racines
de l’unité :
(
,
,
)
Géométriquement, cela revient à faire subir au point des rotations successives d’angle
, ce qui nous donne le polygone régulier de
côtés.
Remarque : J’insiste ! Les symboles et
sont réservés aux réels positifs et désignent sans ambiguïté la racine carrée et la racine
positive de ce réel. Ils sont interdits pour désigner une racine
d’un complexe, pour cause d’ambiguïté.
Racines carrée et équation du second degré dans 
Racine carrée sous forme algébrique
Nous venons de voir que pour calculer les racines , la « bonne » forme était la forme exponentielle. Cependant, pour les racines carrées
, on peut obtenir la forme algébrique. Un exemple suffira pour comprendre la méthode :
Exemple : Cherchons les racines carrées de sous leur forme algébrique. On cherche donc
tel que
, c’est à dire tel que
. On va égaler les parties réelles et imaginaires :

Sous cette forme, le calcul de et
n’est pas très commode (quoique faisable). Une astuce consiste à ajouter l’égalité des modules
. Comme cette information est redondante, l’équivalence est préservée :

De et
, on tire facilement
et
, d’où les quatre possibilités
,
,
. Parmi ces quatre possibilités, seules deux vérifient en outre la troisième équation
. Finalement il ne reste que les deux solutions
,
,
et
,
,
:
Les deux racines carrées de sont
.
Équation du second degré dans 
Vous avez utilisé en terminale les nombres complexes pour résoudre les équations du second degré dont le discriminant est négatif. C’est d’ailleurs une des raisons qui ont poussé les algébristes du XVIème siècle à inventer ces nombres imaginaires. Ainsi, par exemple, l’équation
:
n’a pas de solution réelle car son discriminant est négatif. Mais
possède (comme tout complexe) deux racines carrées qui sont
et
, ce qui nous permet de donner les deux solutions complexes de l’équation
:
et
Mais maintenant que nous savons calculer les racines carrées de tout nombre complexe (et pas seulement des réels négatifs), nous pouvons généraliser ce travail aux équations du second degré à coefficient complexes.
Nous voulons résoudre dans l’équation du second degré à coefficients complexes :
avec
,
,
et
La méthode est identique à celle que vous avez utilisé en seconde pour résoudre cette équation dans le cas réel : on met le trinôme sous forme canonique en mettant en facteur puis e, décidant que
est le début d’un carré …
On pose alors pour obtenir l’équivalence :
(
Appelons alors l’une des deux racines carrées du complexe
(je rappelle que le symbole √ est interdit – sauf si le discriminant
est un réel positif bien sûr -). On obtient :
En conclusion, vous voyez que l’expression des racines reste celle que vous connaissiez.
Exemple : soit à résoudre
.
Le discriminant est dont nous avons calculé dans le paragraphe précédent les racines carrées
. Prenons
. Les solutions de
sont :
ou
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